Granica z pierwiastkiem

Granice, pochodne, całki, szeregi
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Awatar użytkownika
Lbubsazob
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1909
Rejestracja: 28 maja 2010, 08:51
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękowania: 40 razy
Otrzymane podziękowania: 898 razy
Płeć:

Granica z pierwiastkiem

Post autor: Lbubsazob »

\(\lim_{n\to\infty} \left(\sqrt{n^2+2n+3}-\sqrt{n^2+1}-1\right)(n-\sqrt n)\)
Galen
Guru
Guru
Posty: 18457
Rejestracja: 17 sie 2008, 15:23
Podziękowania: 4 razy
Otrzymane podziękowania: 9161 razy

Post autor: Galen »

\(\lim_{n\to \infty }( \sqrt{n^2+2n+3}-( \sqrt{n^2+1}+1))(n- \sqrt{n})=
= \lim_{n\to \infty } \frac{(n^2+2n+3-( \sqrt{n^2+1}+1)^2)(n- \sqrt{n}) }{ \sqrt{n^2+2n+3}+ \sqrt{n^2+1}+1}\)

Po redukcji w liczniku mnożę licznik i mianownik przez \((n+ \sqrt{n})\) potem z każdego czynnika wyłączam \(n\)
i skracam ułamek przez \(n^2\).
Teraz można znów stosować mnożenie przez sprzężenie.
Chyba z tego coś wyjdzie,ale trzeba na to cierpliwości...
Wszystko jest trudne,nim stanie się proste.
Awatar użytkownika
Lbubsazob
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1909
Rejestracja: 28 maja 2010, 08:51
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękowania: 40 razy
Otrzymane podziękowania: 898 razy
Płeć:

Post autor: Lbubsazob »

\(\lim_{n\to \infty} \left( \sqrt{n^2+2n+3} - \sqrt{n^2+1}-1 \right) \left( n- \sqrt{n} \right)=\lim_{n\to \infty} \left( \sqrt{n^2+2n+3} - \left(\sqrt{n^2+1}+1\right) \right) \left( n- \sqrt{n} \right)= \\
= \lim_{n\to \infty} \frac{\left( \sqrt{n^2+2n+3} - \left(\sqrt{n^2+1}+1\right) \right)\left( \sqrt{n^2+2n+3} + \left(\sqrt{n^2+1}+1\right) \right) \left( n- \sqrt{n} \right)}{\left( \sqrt{n^2+2n+3} + \left(\sqrt{n^2+1}+1\right) \right)}= \\
= \lim_{n\to \infty} \frac{n^2+2n+3- \left(\sqrt{n^2+1}+1 \right)^2 \left( n- \sqrt{n} \right)}{ \sqrt{n^2 \left(1+ \frac{2}{n} + \frac{3}{n^2} \right) } + \sqrt{n^2 \left( 1+ \frac{1}{n^2} \right) }+1 }= \lim_{n\to \infty} \frac{ \left( n^2+2n+3- \left(n^2+1-2 \sqrt{n^2+1} +1 \right) \right) \left( n- \sqrt{n} \right) }{2n}= \\
= \lim_{n\to \infty} \frac{ \left(n^2+2n+3-n^2-2+2 \sqrt{n^2+1} \right) \left(n- \sqrt{n} \right) \left(n+\sqrt{n} \right) }{2n\left(n+ \sqrt{n} \right) }= \lim_{n\to \infty} \frac{ \left(2n+1+2 \sqrt{n^2+1} \right) \left(n^2-n \right) }{2n \left(n+ \sqrt{n^2 \cdot \frac{1}{n} } \right) }= \\
= \lim_{n\to \infty} \frac{n \left(2+ \frac{1}{n} +2 \sqrt{n^2 \left( 1+ \frac{1}{n^2} \right) } \right)n \left( n-1\right) }{4n^2}= \lim_{n\to \infty} \frac{ \left( n-1\right) \left( 2+2n\right) }{4}= \lim_{n\to \infty} \frac{2n+2n^2-2-2n}{4}= \lim_{n\to \infty} \frac{n^2 \left( \frac{2}{n}+2- \frac{2}{n^2}- \frac{2}{n} \right) }{4}= \\ = \lim_{n\to \infty} \frac{n^2}{2}= \infty\)


Coś tam jednak wyszło, niestety nie mam do tego odpowiedzi.
Awatar użytkownika
anka
Expert
Expert
Posty: 6584
Rejestracja: 29 sty 2009, 23:25
Podziękowania: 30 razy
Otrzymane podziękowania: 1117 razy
Płeć:

Post autor: anka »

Derive podaje mi, że ta granica to \(\frac{1}{2}\)

Poza tym w liczniku masz błąd. Powinno być:

\(\lim_{n\to \infty }( \sqrt{n^2+2n+3}-( \sqrt{n^2+1}+1))(n- \sqrt{n})=\\
\lim_{n\to \infty } \frac{(n^2+2n+3-( \sqrt{n^2+1}+1)^2)(n- \sqrt{n}) }{ \sqrt{n^2+2n+3}+ \sqrt{n^2+1}+1}=\\
\lim_{n\to \infty } \frac{(n^2+2n+3-(n^2+1+2\sqrt{n^2+1}+1))(n- \sqrt{n}) }{ \sqrt{n^2+2n+3}+ \sqrt{n^2+1}+1}=\\
\lim_{n\to \infty } \frac{(n^2+2n+3-n^2-2-2\sqrt{n^2+1})(n- \sqrt{n} )}{ \sqrt{n^2+2n+3}+ \sqrt{n^2+1}+1}=\\
\lim_{n\to \infty } \frac{(2n+1-2\sqrt{n^2+1})(n- \sqrt{n} )}{ \sqrt{n^2+2n+3}+ \sqrt{n^2+1}+1}=...\\\)
Znasz odpowiedź do zadania, to ją podaj. Łatwiej będzie sprawdzić czy w rozwiązaniu zadania nie ma błędu.
Galen
Guru
Guru
Posty: 18457
Rejestracja: 17 sie 2008, 15:23
Podziękowania: 4 razy
Otrzymane podziękowania: 9161 razy

Post autor: Galen »

Legelle w trzecim wierszu pomyliłaś znak przy \(2 \sqrt{n^2+1}\) , porównaj zapisem u Anki.Masz minus,a ma być plus..
Z wykresu "wróżę" granicę \(0,5\),ale nie doliczyłem do końca.
Wszystko jest trudne,nim stanie się proste.
Awatar użytkownika
Lbubsazob
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1909
Rejestracja: 28 maja 2010, 08:51
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękowania: 40 razy
Otrzymane podziękowania: 898 razy
Płeć:

Post autor: Lbubsazob »

Faktycznie, przeliczyłam to jeszcze raz i wychodzi \(\frac{1}{2}\).
ODPOWIEDZ