obliczyć pole pomiędzy krzywymi
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Można tak:
- zamienić zmienne:
\(x^2=1-y\\y=-x^2+1\)
\(x=y+1\\y=x-1\).
Pole obszaru wyjściowego będzie równe polu obszaru między nowymi krzywymi.
- wspólne punkty tych krzywych to: \((1,\ 0)\ i\ (-2,\ -3)\).
- ponieważ część obszaru jest pod osią Ox, a najniżej położony punkt jest na wysokości równej -3, przesunąć całość o 3 w górę.
I mamy pole obszaru między krzywymi:
\(y=-x^2+4\ \ i\ \ y=x+2\)
Od góry obszar ograniczony jest parabolą, od dołu prostą.
Pole obszaru:
\(P=\int_{2}^1(-x^2+4-(x+2))dx=\int_{-2}^1(-x^2-x+2)dx=[-\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2+2x]_{-2}^1=\\=(-\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+2)-(\frac{8}{3}-2-4)=\frac{7}{6}+\frac{10}{3}=\frac{9}{2}=4,5\)
- zamienić zmienne:
\(x^2=1-y\\y=-x^2+1\)
\(x=y+1\\y=x-1\).
Pole obszaru wyjściowego będzie równe polu obszaru między nowymi krzywymi.
- wspólne punkty tych krzywych to: \((1,\ 0)\ i\ (-2,\ -3)\).
- ponieważ część obszaru jest pod osią Ox, a najniżej położony punkt jest na wysokości równej -3, przesunąć całość o 3 w górę.
I mamy pole obszaru między krzywymi:
\(y=-x^2+4\ \ i\ \ y=x+2\)
Od góry obszar ograniczony jest parabolą, od dołu prostą.
Pole obszaru:
\(P=\int_{2}^1(-x^2+4-(x+2))dx=\int_{-2}^1(-x^2-x+2)dx=[-\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2+2x]_{-2}^1=\\=(-\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+2)-(\frac{8}{3}-2-4)=\frac{7}{6}+\frac{10}{3}=\frac{9}{2}=4,5\)