przygotowania do sesji

Granice, pochodne, całki, szeregi
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
parasol90
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 5
Rejestracja: 17 sie 2010, 14:15
Podziękowania: 7 razy

przygotowania do sesji

Post autor: parasol90 »

Witam:) jestem tu nowy wiec się może przedstawię, mam na imię Bartek i studiuje na PK, wydział mechaniczny:) Zaczynam sie właśnie przygotowywać do sesji poprawkowej we wrześniu i chciałbym w związku z tym prosić o pomoc w rozwiązaniu paru zadań i wytłumaczeniu ich:) mam nadzieję że mogę liczyć na waszą pomoc:) no to zaczynamy;)
1.Oblicz \(\sqrt[3]{3-3 \sqrt{3}l }\)
2.Znaleźć ekstrema lokalne funkcji \(f(x,y)=x^3+3xy^2+12xy\)
3.Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywymi \(y=x^2+2x-2\), \(y=-x^2-4x+6\)
irena
Guru
Guru
Posty: 22300
Rejestracja: 10 paź 2009, 19:08
Otrzymane podziękowania: 9858 razy
Płeć:

Post autor: irena »

Zobacz, czy dobrze napisane są przykłady. Jeśli używasz znaków Latex, to musisz napisana "frazę" wziąć w "texy" (przeczytaj uważnie sposoby pisania). Ja tylko "wkleiłam" znaki "texa".

Zad. 2.
Najpierw obliczasz pochodne cząstkowe. Podstawowy warunek istnienia ekstremum (konieczny) to zerowanie się pochodnych pierwszego rzędu:
\(f(x,y)=x^3+3xy^2+12xy\\f'_x(x,y)=3x^2+3y^2+12y\\f'_y(x,y)=6xy+12x\)

Rozwiązujesz układ równań:
\(\begin{cases}3x^2+3y^2+12y=0\\6xy+12x=0 \end{cases} \\ \begin{cases}x^2+y^2+4y=0\\x(y+2)=0 \end{cases}\)

z drugiego równania wynikają układy:
\(\begin{cases}x=0\\x^2+y^2+4y=0 \end{cases} \ \ \ \vee \ \ \ \begin{cases}y+2=0\\x^2+y^2+4y=0 \end{cases} \\ \begin{cases}x=0\\y(y+4)=0 \end{cases} \ \ \ \vee \ \ \ \begin{cases}y=-2\\x^2+4-8=0 \end{cases}\)

Otrzymujesz rozwiązania:
\(\begin{cases}x=0\\y=0 \end{cases} \ \vee \ \begin{cases}x=0\\y=-4 \end{cases} \ \vee \ \begin{cases}x=2\\y=-2 \end{cases} \ \vee \ \begin{cases}x=-2\\y=-2 \end{cases}\)

O ekstremum "podejrzane" są 4 punkty:
\(A=(0,\ 0)\\B=(0,\ -4)\\C=(2,\ -2)\\D=(-2,\ -2)\)

Sprawdzamy teraz, w którym z tych punktów jest ekstremum.
Obliczamy pochodne drugiego rzędu:
\(f"_{x^2}(x,y)=6x\\f"_{y^2}(x,y)=6x\\f"_{xy}(x,y)=6y+12\)

Obliczamy wartość:
\(D(x,y)=[f"_{xy}(x,y)]^2-f"_{x^2}(x,y)\cdot\ f"_{y^2}(x,y)\)

Jeśli \(D(x_0,y_0)>0\), to w punkcie \((x_0,\ y_0)\) funkcja nie ma ekstremum.
Jeśli \(D(x_0,\ y_0)<0\), to w punkcie \((x_0,\ y_0)\) funkcja ma ekstremum.

\(D(x,y)=(6y+12)^2-6x\cdot6x=36(y^2+4y+4-x^2)\)

Sprawdzamy punkt A:
\(D(0,\ 0)=36\cdot4>0\)
W punkcie A funkcja nie ma ekstremum.

Sprawdzamy punkt B:
\(D(0,= -4)=36(16-16+4)>0\)
w punkcie B funkcja nie ma ekstremum.

Punkt C:
\(D(2,\ -2)=36(4-8+4-4)<0\)
w punkcie C funkcja ma ekstremum.

Punkt D:
\(D(-2,\ -2)=36(4-8+4-4)<0\)
w punkcie d funkcja ma ekstremum.

Trzeba sprawdzić, co to za ekstrema. Oblicza się na przykład wartość drugiej pochodnej względem x. Jeśli \(f"_{x^2}(x_0,\ y_0)>0\), to w punkcie \((x_0,\ y_0)\) funkcja przyjmuje minimum lokalne. Jeśli \(f"_{x^2}(x_0,\ y_0)<0\), to w punkcie \((x_0,\ y_0)\) funkcja przyjmuje maksimum lokalne.

\(f"_{x^2}(2,\ -2)=6\cdot2=12>0\)- minimum lokalne

\(f"_{x^2}(-2,\ -2)=6\cdot(-2)<0\)- maksimum lokalne.

Obliczmy wartości ekstremów:
\(f(2,\ -2)=2^3+3\cdot2\cdot(-2)^2+12\cdot2\cdot(-2)=-16\\f(-2,\ -2)=(-2)^3+3\cdot(-2)\cdot(-2)^2+12\cdot(-2)\cdot(-2)=+16\)

\(f_{min}=-16\) w punkcie (2, -2)

\(f{max}=+16\) w punkcie (-2, -2)
irena
Guru
Guru
Posty: 22300
Rejestracja: 10 paź 2009, 19:08
Otrzymane podziękowania: 9858 razy
Płeć:

Post autor: irena »

Zad. 3.
Najpierw musisz zobaczyć, gdzie przecinają się parabole, które opisane są równaniami:
\(\begin{cases}y=x^2-2x-2\\y=-x^2-4x+6 \end{cases} \\x^2-2x-2=-x^2-4x+6\\2x^2+2x-8=0\\x^2+x-4=0\\\Delta=1+16=17\\x_1=\frac{-1-\sqrt{17}}{2}\ \vee \ x_2=\frac{-1+\sqrt{17}}{2}\)

Trzeba naszkicować obie parabole. Pierwsza z nich ma wierzchołek w punkcie (1, -3), a druga w punkcie (-2, 10). Pomiędzy wspólnymi punktami parabola druga leży "nad" pierwszą.

Ponieważ obszar, którego pole S mamy obliczyć "przylega" do osi Ox, to możemy obliczyć różniczkę dS jako pole prostokąta krzywoliniowego o wysokości równej różnicy rzędnych parabol i o podstawie dx.

\(dS=(y_2-y_1)dx=[(-x^2-4x+6)-(x^2-2x-2)]dx=(-2x^2-2x+8)dx\)

I obliczamy pole obszaru:
\(S= \int_{\frac{-1-\sqrt{17}}{2}}^{\frac{-1+\sqrt{17}}{2}} (-2x^2-2x+8)dx=[-\frac{2}{3}x^3-x^2+8x]_{\frac{-1-\sqrt{17}}{2}}^{\frac{-1+\sqrt{17}}{2}}\)

Obliczę osobno te wartości:
\(K_1=-\frac{2}{3}\cdot(\frac{-1+\sqrt{17}}{2})^3-(\frac{-1+\sqrt{17}}{2})^2+8\cdot\frac{-1+\sqrt{17}}{2}=\\=-\frac{2}{3}\cdot\frac{17\sqrt{17}-3\cdot17\cdot1+3\sqrt{17}\cdot1-1}{8}-\frac{1-2\sqrt{17}+17}{4}+4(-1+\sqrt{17})=\\=\frac{17}{6}\sqrt{17}-\frac{25}{6}\)

\(K_2=-\frac{2}{3}\cdot(\frac{-1-\sqrt{17}}{2})^3-(\frac{-1-\sqrt{17}}{2})^2+8\cdot\frac{-1-\sqrt{17}}{2}=-\frac{17}{6}\sqrt{17}-\frac{25}{6}\)

\(S=K_1-K_2\\S=\frac{17}{6}\sqrt{17}-\frac{25}{6}+\frac{17}{6}\sqrt{17}+\frac{25}{6}=\frac{17\sqrt{17}}{3}\)

sprawdź, czy się nie pomyliłam w obliczeniach
malwina69
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 25
Rejestracja: 23 lut 2010, 16:12
Podziękowania: 15 razy

Post autor: malwina69 »

Jestem początkująca. Możesz mi napisać jak rozwiązałaś te pochodne drugiego rzędu? :)

,,Sprawdzamy teraz, w którym z tych punktów jest ekstremum.
Obliczamy pochodne drugiego rzędu:
\(f"_{x^2}(x,y)=6x\\f"_{y^2}(x,y)=6x\\f"_{xy}(x,y)=6y+12\)"
irena
Guru
Guru
Posty: 22300
Rejestracja: 10 paź 2009, 19:08
Otrzymane podziękowania: 9858 razy
Płeć:

Post autor: irena »

Oznaczenie \(f"_{x^2}(x,y)\) oznacza, że obliczam pochodną ze względu na zmienną x funkcji \(f'_x(x,y)\).
W tym wypadku:
\(f'_{x^2}(x,y)=3x^2+3y^2+12y\)
czyli:
\(f"_{x^2}(x,y)=6x\)
bo wyrazy: \(3y^2\ i\ 12y\) traktuję jak stałe.

Podobnie, pochodna \(f"_{y^2}(x,y)\) to pochodna ze względu na zmienną y funkcji \(f'_y(x,y)\).
Czyli:
\(f'_y(x,y)=6xy+12x\)
więc
\(f"_{y^2}(x,y)=6x\)

Jeśli liczę pochodną \(f"_{xy}(x,y)\), to obliczam pochodną ze względu na zmienną y funkcji \(f'_x(x,y)\)

czyli
\(f'_x(x,y)=3x^2+3y^2+12y\),
więc
\(f"_{xy}(x,y)=6y+12\)
malwina69
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 25
Rejestracja: 23 lut 2010, 16:12
Podziękowania: 15 razy

Post autor: malwina69 »

Dziękuję ;)
parasol90
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 5
Rejestracja: 17 sie 2010, 14:15
Podziękowania: 7 razy

Post autor: parasol90 »

dzieki wielkie irena za pomoc w rozwiązaniu tych pierwszych zadań. Naprawde swietnie je tlumaczysz:) Mam ich jeszcze kilka do rowiązania, licze na pomoc:)
4.Obliczyć długość łuku krzywej\(K:\ x(t)=(e^t)\cdot\ sin5t; \ \ y(t)=(e^t)\cdot\ cos5t,\ \ 0 \le t \le 1\)
5.Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywymi \(x=y^2\ i\ y=6-x\)
6.Obliczyć objętość bryły powstałej przez obrót dookoła osi OX krzywej \(y= \sqrt{ \frac{4x+3}{x^2+x-2} },\ \ 2 \le x \le 3\)
irena
Guru
Guru
Posty: 22300
Rejestracja: 10 paź 2009, 19:08
Otrzymane podziękowania: 9858 razy
Płeć:

Post autor: irena »

4.
Jeżeli krzywa dana jest równaniem w postaci parametrycznej:
\(\begin{cases}x=x(t)\\y=y(t) \end{cases} \\t \in <t_1;\ t_2>\)

to długość łuku tej krzywej, L wyraża się wzorem:
\(L= \int_{t_1}^{t_2} \sqrt{x'^2(t)+y'^2(t)}dt\)

jeżeli funkcje x(t) i y(t) mają ciągłe pochodne w całym podanym przedziale nie znikające jednocześnie (czyli w każdym punkcie tego przedziału \(x'^2(t)+y'^2(t)>0\))

Różniczkujemy funkcje względem zmiennej t:
\(x'(t)=(e^t\ sin5t)'=e^t\ sin5t+5e^t\ cos5t=e^t(sin5t+5cos5t)\\y'(t)=(e^t\ cos5t)'=e^t\ cos5t-5e^t\ sin5t=e^t(cos5t-5sin5t)\)

Podnosimy stronami do kwadratu:
\(x'(t)^2=e^{2t}(sin^25t+10sin5t\ cos5t+25cos^25t)\\y'^2(t)=e^{2t}(cos^25t-10sin5t\ cos5t+25sin^25t)\)

i dodajemy stronami:

\(x'^2(t)+y'^2(t)=e^{2t}(26sin^25t+26cos^25t)=26e^{2t}(sin^25t+cos^25t)=26e^{2t}\)

stąd:
\(\sqrt{x'^2(t)+y'^2(t)}=\sqrt{26e^{2t}}=\sqrt{26}e^t\)

Długość łuku:
\(L= \int_{0}^{1} (\sqrt{26}e^t)dt=\sqrt{26} \int_{0}^{1} e^t\ dt=\sqrt{26}[e^t]_0^1=\sqrt{26}(e^1-e^0)=\sqrt{26}(e-1)\)
irena
Guru
Guru
Posty: 22300
Rejestracja: 10 paź 2009, 19:08
Otrzymane podziękowania: 9858 razy
Płeć:

Post autor: irena »

5.
\(x=y^2\ i\ y=6-x\)

Najpierw znajdujemy wspólne punkty tych krzywych:
\(\begin{cases}x=y^2\\y=6-x \end{cases} \\y=6-y^2\\y^2+y-6=0\\\Delta=1+24=25\\y_1=\frac{-1-5}{2}=-3\ \vee \ y_2=\frac{-1+5}{2}=2\\x_1=9\ \vee \ x_2=4\)

Wspólne punkty tych krzywych to:
\(A=(4,\ 2),\ \ B=(9,\ -3)\)

Teraz trzeba narysować te krzywe.
Krzywa o równaniu \(y=6-x\) to prosta przechodząca przez wyznaczone punkty A i B.

Krzywa o równaniu \(x=y^2\) to parabola o wierzchołku w punkcie \(O=(0,\ 0)\) (składająca się z wykresów dwóch funkcji: \(y=\sqrt{x}\ i\ y=-\sqrt{x}\) dla \(x \ge 0\)). Można ją też otrzymać odbijając parabolę \(y=x^2\) symetrycznie względem prostej o równaniu y=x (dwusiecznej I i III ćwiartki).
Łuk OA paraboli to łuk paraboli o równaniu \(y=\sqrt{x}\) dla \(0 \le x \le 4\)
Łuk OB paraboli to łuk paraboli o równaniu \(y=-\sqrt{x}\) dla \(0 \le x \le 9\)

Obszar, którego pole trzeba obliczyć to obszar AOB.
Na osi Ox zaznacz punkty: \(K=(4,\ 0),\ L=(6,\ 0),\ M=(9,\ 0)\)

Pole, P, szukane, to:
- suma pól trójkąta krzywoliniowego AOK, trójkąta AKL, trójkąta krzywoliniowego OMB
- minus pole trójkąta BML

Trójkąty AOK i AKL są powyżej osi Ox,
Czyli:
\(P_{AOK}= \int_{0}^{4} \sqrt{x}dx=[\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}]_0^4=\frac{2}{3}\cdot(\sqrt{4})^3-\frac{2}{3}(\sqrt{0})^3=\frac{2}{3}\cdot8=\frac{16}{3}\)

\(P_{AKL}= \int_{4}^{6} (6-x)dx=[6x-\frac{1}{2}x^2]_4^6=(36-\frac{1}{2}\cdot36)-(24\cdot\frac{1}{2}\cdot16)=18-16=2\)

Trójkaty OBM i BLM są poniżej osi Ox, więc:
\(P_{OBM}=- \int_{0}^{9} (-\sqrt{x})dx=[\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}]_0^9=\frac{2}{3}(\sqrt{9})^3-\frac{2}{3}(\sqrt{9})^3=\frac{2}{3}\cdot27=18\)

\(P_{BLM}=- \int_{6}^{9} (6-x)dx=-[6x-\frac{1}{2}x^2]_6^9=-[(54-\frac{1}{2}\cdot81)-(36-\frac{1}{2}\cdot36)]=-[\frac{27}{2}-18]=\frac{9}{2}\)

Pole obszaru:
\(P=\frac{16}{3}+2+18-\frac{9}{2}=\frac{125}{6}\)
irena
Guru
Guru
Posty: 22300
Rejestracja: 10 paź 2009, 19:08
Otrzymane podziękowania: 9858 razy
Płeć:

Post autor: irena »

6.
Objętość bryły powstałej w wyniku obrotu łuku krzywej wokół osi Ox oblicza się według wzoru:
\(V=\pi \int_{a}^{b} y^2dx\)
jeśli funkcja jest ciągła i nieujemna w przedziale <a, b>.

\(V=\pi \int_{2}^{3} \frac{4x+3}{x^2+x-2}dx\)

Najpierw obliczam całkę:
\(\int_{2}^{3} \frac{4x+3}{x^2+x-2}dx\)

Rozkładam trójmian w mianowniku na czynniki:
\(x^2+x-2\\\Delta=1+8=9\\x_1=\frac{-1-3}{2}=-2\ \vee \ x_2=\frac{-1+3}{2}=1\\x^2+x-2=(x+2)(x-1)\)

rozkładam funkcję podcałkową na sumę ułamków prostych:
\(\frac{4x+3}{x^2+x-3}=\frac{A}{x+2}+\frac{B}{x-1}=\frac{Ax-A+Bx+2B}{(x+2)(x-1)}=\frac{(A+B)x+(2B-A)}{(x+2)(x-1)}\\ \begin{cases}A+B=4\\2B-A=3 \end{cases} \\ \begin{cases}A=\frac{5}{3}\\B=\frac{7}{3} \end{cases} \\\frac{4x+3}{x^2+x-2}=\frac{5}{3}\cdot\frac{1}{x+2}+\frac{7}{3}\cdot\frac{1}{x-1}\)

\(\int_{2}^{3} \frac{4x+3}{x^2+x-2}=\frac{5}{3} \int_{2}^{3} \frac{dx}{x+2}+\frac{7}{3} \int_{2}^{3} \frac{dx}{x-1}=\\=\frac{5}{3}[ln|x+2|]_2^3+\frac{7}{3}[ln|x-1|]_2^3=\frac{5}{3}(ln5-ln4)+\frac{7}{3}(ln2-ln1)=\\=\frac{5ln5-10ln2+7ln2}{3}=\frac{5ln5-3ln2}{3}=\frac{5}{3}ln5-ln2=ln\frac{5^{\frac{5}{3}}}{2}=ln\frac{5\sqrt[3]{25}}{2}\)

Objętość bryły:
\(V=ln\frac{5\sqrt[3]{25}}{2}\pi\)

Dla porządku- sprawdzam, czy funkcja jest ciągła i nieujemna w przedziale <2, 3>:

\(\frac{4x+3}{x^2+x-2} \ge 0\\(4x+3)(x+2)(x-1) \ge 0\ \wedge \ x \neq -2\ \wedge \ x \neq 1\\x \in (-2;\ -\frac{3}{4}>\ \cup \ (1;\ \infty )\)

Czyli- w przedziale <2, 3> funkcja jest ciągła.

\(\sqrt{\frac{4x+3}{x^2+x-2}} \ge 0\) dla każdego x z tego przedziału.
irena
Guru
Guru
Posty: 22300
Rejestracja: 10 paź 2009, 19:08
Otrzymane podziękowania: 9858 razy
Płeć:

Post autor: irena »

Hej! Parasol90! Sprawdź treść zad. 1. Co tam jest pod pierwiastkiem???
parasol90
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 5
Rejestracja: 17 sie 2010, 14:15
Podziękowania: 7 razy

Post autor: parasol90 »

w tym pierwszym zadaniu zamiast "l" ma byc "i" ;]
irena
Guru
Guru
Posty: 22300
Rejestracja: 10 paź 2009, 19:08
Otrzymane podziękowania: 9858 razy
Płeć:

Post autor: irena »

\(z=3-3\sqrt{3}i\\r=\sqrt{3^2+(-3\sqrt{3})^2}=\sqrt{9+27}=6\)

\(z=6(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i)\\ \begin{cases}cos\alpha=\frac{1}{2}\\sin\alpha=-\frac{\sqrt{3}}{2}\\\alpha \in <0;\ 2\pi> \end{cases} \ \Rightarrow \ \alpha=\frac{5}{3}\pi\)

Są 3 liczby równe \(\sqrt[3]{z}\):

\(p_k=\sqrt[3]{r}(cos(\frac{\alpha+k\cdot2\pi}{3})+i\ sin(\frac{\alpha+k\cdot2\pi}{3})),\ k=0,\ 1,\ 2\)

\(p_0=\sqrt[3]{6}(cos(\frac{5}{9}\pi)+i\ sin(\frac{5}{9}\pi))\\p_1=\sqrt[3]{6}(cos(\frac{11}{9}\pi)+i\ sin(\frac{11}{9}\pi))\\p_2=\sqrt[3]{6}(cos(\frac{17}{9}\pi)+i\ sin(\frac{17}{9}\pi))\)
parasol90
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 5
Rejestracja: 17 sie 2010, 14:15
Podziękowania: 7 razy

ostatnich kilka :)

Post autor: parasol90 »

7.Rozwiązać równania różniczkowe:
a) \(y"+y'+3y=3sinx\)
b) \(y'- \frac{2}{x} y=3\)
8.Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami: \(z= \sqrt{9-(x^2)*y^2}\), \((x^2)+(y^2) \le 4\), \(z=0\)
9.Obliczyć potrójna całka z : \frac{dv}{x^2)+(y^2)+(z^2)} , (x^2)+(y^2)+(z^2) \le 9, z<0. (pod zbakiem potrójnej całki jest V)
10.Obliczyć całka z: \frac{dl}{(x^2)+(y^2)}, K:x(t)=(e^2t)cost, y(t)=(e^2t)sint, 0<t<1. (pod znakiem całki jest K)
11.Obliczyć całka z:(x+y)dx+((y^2)-2x)dy, gdzie K jest okręgiem (x^2)+(y^2)=1 skierowanym dodatnio. (pod znakiem całki jest K)
parasol90
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 5
Rejestracja: 17 sie 2010, 14:15
Podziękowania: 7 razy

Post autor: parasol90 »

w 10 i 11 to jest calka krzywoliniowa
ODPOWIEDZ