\(u = y^2 - 2xz + 3\)
w punkcie \(M(-1; 2; -1)\) w kierunku tworzącym jednakowe kąty ze wszystkimi osiami układu współrzędnych.
Znaleźć pochodną kierunkową funkcji
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
\(\alpha=\beta=\gamma\\cos^2\alpha+cos^2\beta+cos^2\gamma=1\\3cos^2\alpha=1\\cos^2\alpha=\frac{1}{3}\\0<\alpha<\frac{\pi}{2}\\cos\alpha=\frac{\sqrt{3}}{3}\)
\(\frac{\partial\ u}{\partial\ P}=f'_x(x_0,\ y_0,\ z_0)cos\alpha+f'_y(x_0,\ y_0,\ z_0)cos\beta+f'_z(x_0,\ y_0,\ z_0)cos\gamma\)
\(f'_x(x,\ y,\ z)=-2z\\f'_x(-1,\ 2,\ -1)=2\)
\(f'_y(x,\ y,\ z)=2y\\f'_y(-1,\ 2,\ -1)=4\)
\(f'_z(x,\ y,\ z)=-2x\\f'_z(-1,\ 2,\ -1)=2\)
Szukana pochodna:
\(\frac{\partial\ u}{\partial\ P}=(2+4+2)\cdot\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{8\sqrt{3}}{3}\)
\(\frac{\partial\ u}{\partial\ P}=f'_x(x_0,\ y_0,\ z_0)cos\alpha+f'_y(x_0,\ y_0,\ z_0)cos\beta+f'_z(x_0,\ y_0,\ z_0)cos\gamma\)
\(f'_x(x,\ y,\ z)=-2z\\f'_x(-1,\ 2,\ -1)=2\)
\(f'_y(x,\ y,\ z)=2y\\f'_y(-1,\ 2,\ -1)=4\)
\(f'_z(x,\ y,\ z)=-2x\\f'_z(-1,\ 2,\ -1)=2\)
Szukana pochodna:
\(\frac{\partial\ u}{\partial\ P}=(2+4+2)\cdot\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{8\sqrt{3}}{3}\)