\(d^2z,
jesli
z = x^2y^2 - lny\)
Znaleźć różniczkę zupełną drugiego rzędu
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
\(z=x^2y^2-lny\)
\(d^2z=(\frac{\partial}{\partial\ x}dx+\frac{\partial}{\partial\ y}dy)^{(2)}f(x,y)=\\=\frac{\partial^2f}{\partial\ x^2}(dx)^2+2\frac{\partial^2f}{\partial\ x\ \partial\ y}dx\ dy+\frac{\partial^2f}{\partial\ y^2}(dy)^2\)
\(\frac{\partial^2}{\partial\ x^2}(x^2y^2-lny)=\frac{\partial}{\partial\ x}(2xy^2)=2y^2\)
\(\frac{\partial^2}{\partial\ y^2}(x^2y^2-lny)=\frac{\partial}{\partial\ y}(2x^2y-\frac{1}{y})=2x^2+\frac{1}{y^2}\)
\(\frac{\partial^2}{\partial\ x\ \partial\ y}(x^2y^2-lny)=\frac{\partial}{\partial\ x}(2x^2y-\frac{1}{y})=4xy\)
\(d^2z=2y^2(dx)^2+(2x^2+\frac{1}{y^2})(dy)^2+8xy\ dx\ dy\)
\(d^2z=(\frac{\partial}{\partial\ x}dx+\frac{\partial}{\partial\ y}dy)^{(2)}f(x,y)=\\=\frac{\partial^2f}{\partial\ x^2}(dx)^2+2\frac{\partial^2f}{\partial\ x\ \partial\ y}dx\ dy+\frac{\partial^2f}{\partial\ y^2}(dy)^2\)
\(\frac{\partial^2}{\partial\ x^2}(x^2y^2-lny)=\frac{\partial}{\partial\ x}(2xy^2)=2y^2\)
\(\frac{\partial^2}{\partial\ y^2}(x^2y^2-lny)=\frac{\partial}{\partial\ y}(2x^2y-\frac{1}{y})=2x^2+\frac{1}{y^2}\)
\(\frac{\partial^2}{\partial\ x\ \partial\ y}(x^2y^2-lny)=\frac{\partial}{\partial\ x}(2x^2y-\frac{1}{y})=4xy\)
\(d^2z=2y^2(dx)^2+(2x^2+\frac{1}{y^2})(dy)^2+8xy\ dx\ dy\)