n-te pochodne funkcji

[malwina69]

Znależć n-te pochodne funkcji:

a) \(y=e^{ax}\)

b) \(y= ln(a + bx)\)

c) \(y= xe^{x}\)

d) \(y= e^{-x}\)

e) \(y=x lnx\)

f) \(y=e^{ax} sinbx\)[/quote]

[Galen]

a)
\(y=e^a^x\)
\(y'=a \cdot e^a^x\)
\(y''=a^2 \cdot e^a^x\)
\(y'''=a^3 \cdot e^a^x\)......
\(y^(^n^)=a^n \cdot e^a^x\)
c)
\(y=x \cdot e^x\)
\(y'=e^x+x \cdot e^x)=e^x(1+x)\)
\(y''=e^x(1+x)+e^x=e^x(2+x)\)
...........
\(y^(^n^)=e^x(n+x)
d)
\(y=e^-^x\)
\(y'=-1 \cdot e^-^x\)
\(y''=e^-^x\)
.......Pochodna rzędu parzystego=\(e^-^x\)
Pochodna rzędu nieparzystego \(=-e^-^x\)\)

[Galen]

Nie widzę innej możliwości jak obliczanie kolejnych pochodnych...
b)
\(y=ln(a+bx)\)
\(y'= \frac{b}{a+bx}\)
\(y''= \frac{-b^2}{(a+bx)^2}\) i tak dalej...
e)
\(y=x \cdot lnx\)
\(y'=lnx+1\)
\(y''= \frac{1}{x}\)
\(y'''= \frac{-1}{x^2}\)
\(y^I^V=2 \cdot x^-^3\) ......

[malwina69]

z jakiego wzoru na pochodne korzystałeś w punkcie a i c w y' ?

[irena]

W punkcie a)- na pochodną funkcji złożonej (iloczyn pochodnej funkcji zewnętrznej przez pochodną funkcji wewnętrznej:

\(y=f(g(x))\\y'=f'(g)\cdot\ g'(x)\)

tutaj masz: \(y=e^g\), gdzie \(g(x)=ax\), więc \(y'=(e^g)'\cdot\ g'(x)\)

\((e^x)'=e^x\\(ax)'=a\\y=e^{ax}\\y'=e^{ax}\cdot\ a\\y'=a\cdot\ e^{ax}\)

W punkcie c)- z pochodnej iloczynu funkcji:

\(y=f(x)\cdot\ g(x)\\y'=f'(x)\cdot\ g(x)+f(x)\cdot\ g'(x)\)

\((x)'=1\\(e^x)'=e^x\\y=xe^x\\y'=(x)'\cdot\ e^x+x\cdot\ (e^x)'=1\cdot\ e^x+xe^x=e^x(1+x)\)

[irena]

Dla przykładu b):
\(y^{(n)}=\frac{(-1)^{n-1}\cdot(n-1)!\cdot\ b^n}{(a+bx)^n}\)

[irena]

Dla przykładu e):
\(y'=lnx+1\\n \ge 2\ \Rightarrow \ y^{(n)}=(-1)^n\cdot(n-2)!\cdot\ x^{1-n}\)

[Galen]

f)
Stosuję wzór na pochodną iloczynu i na pochodną funkcji złożonej.
\(y=e^a^x \cdot sinbx\)
\(y'=ae^a^x \cdot sinbx+a^e^x \cdot b \cdot cosbx\)
\(y''=a^2 \cdot e^a^x \cdot sinbx+a \cdot e^a^x \cdot b \cdot cosbx+a \cdot e^a^x \cdot b \cdot cosbx-e^a^x \cdot b^2 \cdot sinbx\)

I tak kolejno trzeba liczyć pochodne z poszczególnych składników...sumować,porządkować,redukować...zmierzać
do możliwie najprostszej postaci...
Powodzenia