obliczyć pole ograniczone krzywymi :
x^2+y^2= 6y ,
x^2+y^2= 8y
Oraz obliczyć objętość ograniczoną powierzchniami:
z^2= x^2+y^2
X^2+y^2=1
pole ogr krzywymi/ obj ogr. powierzchniami
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
pole ogr krzywymi/ obj ogr. powierzchniami
Mam problem z tymi zadankami , prosiłbym o pomoc
obliczyć pole ograniczone krzywymi :
x^2+y^2= 6y ,
x^2+y^2= 8y
Oraz obliczyć objętość ograniczoną powierzchniami:
z^2= x^2+y^2
X^2+y^2=1
obliczyć pole ograniczone krzywymi :
x^2+y^2= 6y ,
x^2+y^2= 8y
Oraz obliczyć objętość ograniczoną powierzchniami:
z^2= x^2+y^2
X^2+y^2=1
1)
Obie krzywe przedstawiają okręgi:
\(x^2+y^2=6y\\x^2+(y-3)^2-9=0\\x^2+9y-3)^2=9\)
Ta krzywa to okrąg o środku w punkcie (0, 3) i promieniu równym 3.
\(x^2+y^2=8y\\x^2+(y-4)^2-16=0\\x^2+(y-4)^2=16\)
Ta krzywa to okrąg o środku w punkcie (0, 4) i promieniu równym 4.
Jedynym wspólnym punktem tych okręgów jest punkt (0, 0). Są to więc okręgi styczne wewnętrznie. Pole ograniczone tymi okręgami jest równe różnicy pól dwóch kół:
\(P=16\pi-9\pi=7\pi\)
2)
Pierwsza powierzchnia to powierzchnia stożkowa o wierzchołku w punkcie (0, 0). Druga to powierzchnia walca o promieniu r=1.
\(\begin{cases}x^2+y^2=1\\x^2+y^2=z^2 \end{cases} \\z^2=1\\z=1\ \vee \ z=-1\\ \begin{cases}x^2+y^2=1\\z=1\ \vee \ z=-1 \end{cases}\)
Wspólna część tych powierzchni to okręgi o promieniu równym 1 leżące na wysokości z=1 i z=-1.
Żeby obliczyć objętość bryły ograniczonej tymi powierzchniami, trzeba od objętości walca o promieniu równym 1 i wysokości równej 1, odjąć objętość stożka o tych samych danych i tę różnicę podwoić.
\(V=2(\pi\cdot1^2\cdot1-\frac{1}{3}\pi\cdot1^2\cdot1)=2\cdot\frac{2}{3}\pi\cdot1^2\cdot1=\frac{4}{3}\pi\)
Obie krzywe przedstawiają okręgi:
\(x^2+y^2=6y\\x^2+(y-3)^2-9=0\\x^2+9y-3)^2=9\)
Ta krzywa to okrąg o środku w punkcie (0, 3) i promieniu równym 3.
\(x^2+y^2=8y\\x^2+(y-4)^2-16=0\\x^2+(y-4)^2=16\)
Ta krzywa to okrąg o środku w punkcie (0, 4) i promieniu równym 4.
Jedynym wspólnym punktem tych okręgów jest punkt (0, 0). Są to więc okręgi styczne wewnętrznie. Pole ograniczone tymi okręgami jest równe różnicy pól dwóch kół:
\(P=16\pi-9\pi=7\pi\)
2)
Pierwsza powierzchnia to powierzchnia stożkowa o wierzchołku w punkcie (0, 0). Druga to powierzchnia walca o promieniu r=1.
\(\begin{cases}x^2+y^2=1\\x^2+y^2=z^2 \end{cases} \\z^2=1\\z=1\ \vee \ z=-1\\ \begin{cases}x^2+y^2=1\\z=1\ \vee \ z=-1 \end{cases}\)
Wspólna część tych powierzchni to okręgi o promieniu równym 1 leżące na wysokości z=1 i z=-1.
Żeby obliczyć objętość bryły ograniczonej tymi powierzchniami, trzeba od objętości walca o promieniu równym 1 i wysokości równej 1, odjąć objętość stożka o tych samych danych i tę różnicę podwoić.
\(V=2(\pi\cdot1^2\cdot1-\frac{1}{3}\pi\cdot1^2\cdot1)=2\cdot\frac{2}{3}\pi\cdot1^2\cdot1=\frac{4}{3}\pi\)
1)
Trzeba obliczyć pole obszaru między okręgami opisanymi wyżej.
Zamieniam współrzędne na biegunowe:
\(\begin{cases}x=rcos\phi\\y=rsin\phi \end{cases}\)
Dla pierwszego okręgu:
\(r^2cos^2\phi+r^2sin^2\phi=6sin\phi\\r=6sin\phi\)
Dla drugiego okręgu:
\(r^2cos^2\phi+r^2sin^2\phi=8sin\phi\\r=8sin\phi\)
Tutaj \(0 \le \phi \le \pi\)
Pole obszaru:
\(S= \int_{0}^{\pi} [ \int_{6sin\phi}^{8sin\phi} rdr]d\phi= \int_{0}^{\phi} ([\frac{1}{2}r^2]_{6sin\phi}^{8sin\phi})d\phi=\\= \int_{0}^{\pi} (32sin^2\phi-18sin^2\phi)d\phi= \int_{0}^{\pi}14sin^2\phi\ d\phi=14 \int_{0}^{\pi}\frac{1-cos2\phi}{2}d\phi=\\=7 \int_{0}^{\pi}(1-cos2\phi)d\phi=7([\phi]_0^\pi-[\frac{sin2\phi}{2}]_0^\pi)=\\=7[(\pi-0)-(0-0)]=7\pi\)
Trzeba obliczyć pole obszaru między okręgami opisanymi wyżej.
Zamieniam współrzędne na biegunowe:
\(\begin{cases}x=rcos\phi\\y=rsin\phi \end{cases}\)
Dla pierwszego okręgu:
\(r^2cos^2\phi+r^2sin^2\phi=6sin\phi\\r=6sin\phi\)
Dla drugiego okręgu:
\(r^2cos^2\phi+r^2sin^2\phi=8sin\phi\\r=8sin\phi\)
Tutaj \(0 \le \phi \le \pi\)
Pole obszaru:
\(S= \int_{0}^{\pi} [ \int_{6sin\phi}^{8sin\phi} rdr]d\phi= \int_{0}^{\phi} ([\frac{1}{2}r^2]_{6sin\phi}^{8sin\phi})d\phi=\\= \int_{0}^{\pi} (32sin^2\phi-18sin^2\phi)d\phi= \int_{0}^{\pi}14sin^2\phi\ d\phi=14 \int_{0}^{\pi}\frac{1-cos2\phi}{2}d\phi=\\=7 \int_{0}^{\pi}(1-cos2\phi)d\phi=7([\phi]_0^\pi-[\frac{sin2\phi}{2}]_0^\pi)=\\=7[(\pi-0)-(0-0)]=7\pi\)
2)
Obszar przestrzenny, którego objętość trzeba obliczyć składa się z dwóch jednakowych, symetrycznych względem płaszczyzny XOY części.
\(V_1\) to objętość tej części, dla której \(z \ge 0\), czyli objętość całego obszaru \(V=2V_1\).
\(V_1\) to objętość obszaru ograniczonego z dołu płaszczyzną z=0, z góry powierzchnią stożkową o równaniu \(z^2=x^2+y^2\) oraz walcem \(x^2+y^2=1\).
\(V_1=\int_D\int\ z dxdy\)
w prowadzam współrzędne biegunowe:
\(r^2cos^2\phi+r^2sin^2\phi=1\\r^2=1\\r=1\)
Czyli:
\(0 \le r \le 1\\0 \le \phi \le 2\pi\\z^2=r^2cos^2\phi+r^2sin^2\phi\\z^2=r^2\\z=r\)
Czyli:
\(V_1= \int_{0}^{2\pi}( \int_{0}^{1}(r\cdot\ r)dr)d\phi= \int_{0}^{2\pi}( \int_{0}^{1}r^2dr)d\phi=\\= \int_{0}^{2\pi}([\frac{1}{3}r^3]_0^1)d\phi= \int_{0}^{2\pi}\frac{1}{3}d\phi=[\frac{1}{3}\phi]_0^{2\pi} =\frac{2}{3}\pi\)
Stąd:
\(V=2\cdot\frac{2}{3}\pi=\frac{4}{3}\pi\)
Obszar przestrzenny, którego objętość trzeba obliczyć składa się z dwóch jednakowych, symetrycznych względem płaszczyzny XOY części.
\(V_1\) to objętość tej części, dla której \(z \ge 0\), czyli objętość całego obszaru \(V=2V_1\).
\(V_1\) to objętość obszaru ograniczonego z dołu płaszczyzną z=0, z góry powierzchnią stożkową o równaniu \(z^2=x^2+y^2\) oraz walcem \(x^2+y^2=1\).
\(V_1=\int_D\int\ z dxdy\)
w prowadzam współrzędne biegunowe:
\(r^2cos^2\phi+r^2sin^2\phi=1\\r^2=1\\r=1\)
Czyli:
\(0 \le r \le 1\\0 \le \phi \le 2\pi\\z^2=r^2cos^2\phi+r^2sin^2\phi\\z^2=r^2\\z=r\)
Czyli:
\(V_1= \int_{0}^{2\pi}( \int_{0}^{1}(r\cdot\ r)dr)d\phi= \int_{0}^{2\pi}( \int_{0}^{1}r^2dr)d\phi=\\= \int_{0}^{2\pi}([\frac{1}{3}r^3]_0^1)d\phi= \int_{0}^{2\pi}\frac{1}{3}d\phi=[\frac{1}{3}\phi]_0^{2\pi} =\frac{2}{3}\pi\)
Stąd:
\(V=2\cdot\frac{2}{3}\pi=\frac{4}{3}\pi\)