Znaleźć wartości parametru

[nastacz]

Znaleźć te wszystkie wartości parametru \(k \in R\), dla którego równanie \(ln \sqrt{x}=kx\) jest sprzeczne.

[Galen]

Przekształć równanie do postaci:
\(\frac{ \frac{1}{2}lnx }{x}=k\)
Wykresem prawej strony jest prosta równoległa do osi OX i jej równanie to : \(y = k\).
Należy zbadać funkcję występującą po lewej stronie równania,dokładniej,wyznaczyć jej maksimum.
Dla k > maksimum równanie będzie sprzeczne.
Niech
\(h(x)= \frac{0,5lnx}{x}\)
\(h'(x)= \frac{0,5-0,5lnx}{x^2}\)
\(h'(x)=0 \Leftrightarrow 1-lnx=0 \Rightarrow lnx=1 \Rightarrow x=e\)
\(h(e)= \frac{0,5}{e} =MAXIMUM\)
Dla \(k> \frac{0,5}{e}\) równanie nie ma rozwiązania,czyli jest sprzeczne.

[Galen]

Zalecam pełne badanie warunków na ekstremum,czyli zmianę znaku pochodnej,lub wykazanie,że druga pochodna w tym punkcie
jest ujemna.
\(h''(x)= \frac{-0,5x-x+xlnx}{x^4}= \frac{-1,5x+xlnx}{x^4}\)
\(h''(e)= \frac{-1,5e+e}{e^4}= \frac{-0,5e}{e^4}<0 \Rightarrow Funkcja \\h\\ ma\ maksimum\ dla\ x=e\)