Zastosowanie całek oznaczonych

Granice, pochodne, całki, szeregi
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
frytusia720
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 4
Rejestracja: 17 cze 2010, 14:50
Podziękowania: 8 razy

Zastosowanie całek oznaczonych

Post autor: frytusia720 »

Oblicz pole figury ograniczonej D, której brzeg zawiera się w krzywych o równaniach:
1) \(y=x^2+6x , x-y+6=0\)
2) \(y=x^3-6x^2+8x ; y=0;x=5\)
3) \(y=x(x+1)(x-2)(x-3);y=0\)
irena
Guru
Guru
Posty: 22300
Rejestracja: 10 paź 2009, 19:08
Otrzymane podziękowania: 9858 razy
Płeć:

Post autor: irena »

1)
Pierwsza krzywa to parabola o wierzchołku dla \(x_w=-3\). Druga współrzędna wierzchołka paraboli to \(y_w=-9\).
Miejsca zerowe paraboli to x=-6 oraz x=0.

Druga krzywa to linia prosta, przecinająca oś OX w punkcie (-6; 0).

Znajdę wspólne punkty tych krzywych:
\(\begin{cases}y=x+6\\y=x^2+6x \end{cases} \\x^2+6x=x+6\\x^2+5x-6=0\\x_1=-6\ \vee \ x_2=1\)

Linie te przecinają się w punktach: (-6, 0) i (1, 7). Wierzchołek paraboli leży pod prostą, czyli ta część paraboli, która ogranicza dany obszar, leży pod prostą.
Żeby obliczyć pole obszaru ograniczonego wykresami danych funkcji, trzeba:
- obliczyć pole ograniczone daną prostą i osią OX między x=-6 a x=1 (\(P_1\))
- obliczyć pole ograniczone osią OX i parabolą między x=0 a x=1 (\(P_2\))
- obliczyć pole ograniczone osią OX i parabolą będącą wykresem funkcji \(y=-x^2-6x\) między x=-6 a x=0 (\(P_3\))

\(P=P_1-P_2+P_3\)

\(P_1= \int_{-6}^{1} (x+6)dx=[\frac{1}{2}x^2+6x]_{-6}^1=\frac{1}{2}+6-(18-36)=24,5\)

\(P_2= \int_{0}^{1} (x^2+6x)dx=[\frac{1}{3}x^3+3x^2]_0^1=\frac{1}{3}+3-0=3\frac{1}{3}\)

\(P_3= \int_{-6}^{0} (-x^2-6x)dx=[-\frac{1}{3}x^3-3x^2]_{-6}^0=0-(-\frac{1}{3}\cdot(-216)-3\cdot36)=36\)

\(P=24\frac{1}{2}-3\frac{1}{3}+36=57\frac{1}{6}\)
irena
Guru
Guru
Posty: 22300
Rejestracja: 10 paź 2009, 19:08
Otrzymane podziękowania: 9858 razy
Płeć:

Post autor: irena »

2)
\(y=x^3-6x^2+8x=x(x-2)(x-4)\)

Funkcja \(f(x)=x^3-6x^2+8x\) przecina oś OX (prostą y=0) dla x=0, x=2, x=4. Wartości funkcji są dodatnie dla 0<x<2, dla x>4, a ujemne dla x<0 oraz dla 2<x<4.

Obszar, o którym mowa w zadaniu jest ograniczony osią OX między x=0 a x=5, krzywą trzeciego stopnia oraz pionową prostą x=5.

P- pole obszaru:

\(P= \int_{0}^{2} (x^3-6x^2+8x)dx- \int_{2}^{4} (x^3-6x+8x)dx+ \int_{4}^{5} (x^3-6x^2+8x)dx\)

(odejmuję wartość całki w środkowym przedziale, bo tam wykres jest pod osią OX)

\(P=[\frac{1}{4}x^4-2x^3+4x^2]_0^2-[\frac{1}{4}x^4-2x^3+4x^2]_2^4+[\frac{1}{4}x^4-2x^3+4x^2]_4^5=\\=(4-0)-(0-4)+(6,25-0)=14,25\)
irena
Guru
Guru
Posty: 22300
Rejestracja: 10 paź 2009, 19:08
Otrzymane podziękowania: 9858 razy
Płeć:

Post autor: irena »

3.
Krzywa przecina oś OX dla: x=-1, x=0, x=2, x=3.
ujemne wartości funkcja przyjmuje dla -1<x<0 oraz dla 2<x<3, a dodatnie dla 0<x<2.
P- pole obszaru:

\(P=- \int_{-1}^{0}f(x)dx + \int_{0}^{2} f(x)dx- \int_{2}^{3} f(x)dx\)

\(f(x)=x^4-4x^3+x^2+6x\\\int\ f(x)dx=\frac{1}{5}x^5-x^4+\frac{1}{3}x^3+3x^2+C\)

\(P=[\frac{1}{5}x^5-x^4+\frac{1}{3}x^3+3x^2]_0^{-1}+[\frac{1}{5}x^5-x^4+\frac{1}{3}x^3+3x^2]_0^2+[\frac{1}{5}x^5-x^4+\frac{1}{3}x^3+3x^2]_3^2=\\=(1\frac{7}{15}-0)+(5\frac{1}{15}-0)+(5\frac{1}{15}-3\frac{3}{5})=8\)
ODPOWIEDZ