bardzo prosze o pomoc w ich rozwiazaniu.
\(\int_{0}^{ \pi /6}\)\(sin( \pi -3x)dx\)
L=\(\int_{0}^{1/2}\)\(\sqrt{1+(\frac{-2x}{1-x^{2}})^{2}}\)\(dx\)
całki
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
1.
\(sin(\pi-3x)=sin3x\\ \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} sin(\pi-3x)dx= \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} sin3xdx\\ \int\ sin3xdx=\\(3x=t\\3dx=dt\\dx=\frac{1}{3}dt)\\= \int\ sin\ t\cdot\frac{1}{3}dt=\frac{1}{3}\int\ sin\ tdt=-\frac{1}{3}cost=-\frac{1}{3}cos3x\\ \int_{0}^{\frac{\pi} {6}} sin3xdx=[-\frac{1}{3}cos3x]_0^{\frac{\pi}{6}}=-\frac{1}{3}[cos(\frac{\pi}{2})-cos0]=-\frac{1}{3}\cdot(0-1)=-\frac{1}{3}\cdot(-1)=\frac{1}{3}\)
\(sin(\pi-3x)=sin3x\\ \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} sin(\pi-3x)dx= \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} sin3xdx\\ \int\ sin3xdx=\\(3x=t\\3dx=dt\\dx=\frac{1}{3}dt)\\= \int\ sin\ t\cdot\frac{1}{3}dt=\frac{1}{3}\int\ sin\ tdt=-\frac{1}{3}cost=-\frac{1}{3}cos3x\\ \int_{0}^{\frac{\pi} {6}} sin3xdx=[-\frac{1}{3}cos3x]_0^{\frac{\pi}{6}}=-\frac{1}{3}[cos(\frac{\pi}{2})-cos0]=-\frac{1}{3}\cdot(0-1)=-\frac{1}{3}\cdot(-1)=\frac{1}{3}\)
\(1+(\frac{-2x}{1-x^2})^2=\frac{(1-x)^2+(-2x)^2}{(1-x^2)^2}=\frac{1-2x^2+x^4+4x^2}{(1-x^2)^2}=\frac{(1+x^2)^2}{(1-x^2)^2}=(\frac{1+x^2}{1-x^2})^2\)
\(\sqrt{1+(\frac{-2x}{1-x^2})^2}=\sqrt{({\frac{1+x^2}{1-x^2})^2}}=|\frac{1+x^2}{1-x^2}|\)
Ponieważ rozpatrujemy całkę z funkcji w przedziale \(x \in <0,\ \frac{1}{2}>\), więc możemy przyjąć, że \(|\frac{1+x^2}{1-x^2}|=\frac{1+x^2}{1-x^2}\)
\(\frac{1+x^2}{1-x^2}=-\frac{-1-x^2}{1-x^2}=-\frac{-2+1-x^2}{1-x^2}=\frac{2}{1-x^2}-1\)
\(\frac{2}{1-x^2}=\frac{2}{(1+x)(1-x)}=\frac{A}{1+x}+\frac{B}{1-x}=\frac{A-Ax+B+Bx}{1-x^2}=\frac{A+B+(B-A)x}{1-x^2}\\ \begin{cases}A+B=2\\B-A=0 \end{cases} \\ \begin{cases}A=1\\B=1 \end{cases} \\\frac{2}{1-x^2}=\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1-x}\)
\(\int_{0}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1+(\frac{-2x}{1-x^2})^2}= \int_{0}^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1-x}-1)dx=[ln(1+x)-ln(1-x)-x]_0^{\frac{1}{2}}=\\=(ln\frac{3}{2}-ln\frac{1}{2}-\frac{1}{2})-(ln1-ln1-0)=(ln3-\frac{1}{2})-0=ln3-\frac{1}{2}\)
\(\sqrt{1+(\frac{-2x}{1-x^2})^2}=\sqrt{({\frac{1+x^2}{1-x^2})^2}}=|\frac{1+x^2}{1-x^2}|\)
Ponieważ rozpatrujemy całkę z funkcji w przedziale \(x \in <0,\ \frac{1}{2}>\), więc możemy przyjąć, że \(|\frac{1+x^2}{1-x^2}|=\frac{1+x^2}{1-x^2}\)
\(\frac{1+x^2}{1-x^2}=-\frac{-1-x^2}{1-x^2}=-\frac{-2+1-x^2}{1-x^2}=\frac{2}{1-x^2}-1\)
\(\frac{2}{1-x^2}=\frac{2}{(1+x)(1-x)}=\frac{A}{1+x}+\frac{B}{1-x}=\frac{A-Ax+B+Bx}{1-x^2}=\frac{A+B+(B-A)x}{1-x^2}\\ \begin{cases}A+B=2\\B-A=0 \end{cases} \\ \begin{cases}A=1\\B=1 \end{cases} \\\frac{2}{1-x^2}=\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1-x}\)
\(\int_{0}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1+(\frac{-2x}{1-x^2})^2}= \int_{0}^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1-x}-1)dx=[ln(1+x)-ln(1-x)-x]_0^{\frac{1}{2}}=\\=(ln\frac{3}{2}-ln\frac{1}{2}-\frac{1}{2})-(ln1-ln1-0)=(ln3-\frac{1}{2})-0=ln3-\frac{1}{2}\)
