obliczyć całkę oznaczoną

[gaskaaa]

\(\int_{0}^{ \sqrt{3} }\) \(\frac{x}{ \sqrt{4-x^2} }dx\)

[irena]

\(\int_{0}^{\sqrt{3}} \frac{dx}{\sqrt{4-x^2}}=[arc\ sin(\frac{x}{2})]_0^{\sqrt{3}}=arc\ sin(\frac{\sqrt{3}}{2})-arc\ sin0=\frac{\pi}{3}-0=\frac{\pi}{3}\)

[matoolekm]

o ile sie nie myle to gdzies x w liczniku zniknal przy rozwiazaniu?

[irena]

No tak, nie zauważyłam.
Ale zostawię tę całkę- może się komuś przyda?

[irena]

\(\int_{0}^{\sqrt{3}} \frac{x}{\sqrt{4-x^2}}dx=\\\(4-x^2=t\\-2xdx=dt\\xdx=-\frac{1}{2}dt\\\int(-\frac{dt}{2\sqrt{t}})=-\frac{1}{2}\int\frac{dt}{\sqrt{t}}=-\frac{1}{2}\cdot2\sqrt{t}=-\sqrt{t}\)\\=[-\sqrt{4-x^2}]_0^{\sqrt{3}}=-\sqrt{4-3}+\sqrt{4-0}=-1+2=1\)