znajdź funkcję pierwotną

[gaskaaa]

znajdź funkcję pierwotną funkcji \(f(x)=cos3x+1\) , której wykres przechodzi przez punkt \(( \frac{ \pi }{2};0)\)

[irena]

\(\int\ f(x)dx=\int(cos3x+1)dx=\int\ cos3xdx+\int\ dx\\\(3x=t\\3dx=dt\\dx=\frac{1}{3}dt\\\int\ cost\cdot\frac{1}{3}dt=\frac{1}{3}sin\ t=\frac{1}{3}sin3x\)\\\int\ f(x)=\frac{1}{3}sin3x+x+C\\F(x)=\frac{1}{3}sin3x+x+C\\f(\frac{\pi}{2})=0\\\frac{1}{3}sin(\frac{3}{2}\pi)+\frac{\pi}{2}+C=0\\\frac{1}{3}\cdot(-1)+\frac{\pi}{2}+C=0\\C=\frac{1}{3}-\frac{\pi}{2}\\F(x)=\frac{1}{3}sin3x+x+\frac{1}{3}-\frac{\pi}{2}\)