POMOC w badaniu przebiegu zmiennosci funkcji. PILNE

[natalkaaa17]

Bardzo prosze o pomoc w zbadaniu przebiegu zmiennosci tej fukcji (asymptoty, wklesłośc wypukłośc no i to wszystko co tam trzeba żeby narysowac tą funkcje) \(x^2 \cdot\ e^ {\frac{1}{x}}\). Nie umiem sie posługiwac tym LaTeXem więc napisze jak to brzmi słownie: x kwadrat razy e do potęgi 1 przez x. Prosze o pomoc i z góry dziękuje

[Galen]

1)Dziedzina=\(D=R \setminus {0}\)
\(\lim_{x\to- \infty }=+ \infty , \lim_{x\to 0_}=0, \lim_{x\to 0+}=+ \infty , \lim_{x\to + \infty }=+ \infty\)
Asymptota pionowa: x=0.Ukośnych nie ma,bo \(\lim_{x\to \infty } \frac{f(x)}{x}= \infty\)
Brak miejsc zerowych.Funkcja nie jest parzysta,ani nieparzysta.
2)Pochodna f'(x) i jej analiza.
\(f'(x)=(2x-1) \cdot e^( \frac{1}{x}^)\)
\(f'(x)=0 \Leftrightarrow x= \frac{1}{2}\)
Pochodna jest ujemna na lewo od \(\frac{1}{2}\),tam f(x) jest malejąca w każdym z dwóch przedziałów
\((- \infty ;0)\) oraz\((0; \frac{1}{2})\)
Pochodna jest dodatnia dla \(x> \frac{1}{2}\) i tam funkcja jest rosnąca.
Dla \(x= \frac{1}{2}\)jest minimum\(f( \frac{1}{2})= \frac{e^2}{4}\)
3)Druga pochodna f''(x) jest dodatnia dla wszystkich x należących do dziedziny,czyli funkcja f(x) jest wypukła
(kształt uśmiechniętych ust )
\(f''(x)=e^x[ \frac{-2}{x}+ \frac{1}{x^2}+2]\)
Nie ma punktów przegięcia,bo f''(x) nie przyjmuje wartości 0.