PIERWSZA I DRUGA POCHODNA FUNKCJI :oblicz pierwsza i drugą pochodna funkcji oraz określ ich dziedzienę , oblicz miejsca zerowe, wyznacz przedziały, w których pochodna jest dodatnia, ujemna, wyznacz przedziały monotoniczności funkcji i jej ekstremów, wklęsłości i wypukłości oraz jej punktów przegięcia.
BŁAGAM O POMOC !!
f(x) = \(\frac{9}{1+6e^{-17x}\)
Pierwsza i druga pochodna funkcji
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
\(f(x)=\frac{9}{1+6e^{-17x}}\\f'(x)=\frac{0\cdot(1+6e^{-17x})-9\cdot6e^{-17x}\cdot(-17)}{(1+e^{-17x})^2}=\frac{918e^{-17x}}{(1+6e^{-17x})^2}\)
\(f''(x)=\frac{918e^{-17x}\cdot(-17)(1+6e^{-17x})-918e^{-17x}\cdot2(1+6e^{-7x})\cdot6e^{-17x}\cdot(-17)}{(1+6e^{-17x})^4}=\\=\frac{-15606e^{-17x}-93636e^{-34x}+187272e^{-34x}}{(1+6e^{-17x})^3}=\\=\frac{15606(6e^{-34x}-e^{-17x})}{(1+6e^{-17x})^3}=15606\cdot\frac{6e^{-34x}-e^{-17x}}{(1+6e^{-17x})^3}=15606\cdot\frac{e^{-17x}(6e^{-17x}-1)}{(1+6e^{-17x})^3}\)
Dziedzina funkcji f(x) oraz dziedziny obu pochodnych to zbiór liczb rzeczywistych.
Pierwsza pochodna jest stale dodatnia.
Druga pochodna:
\(f''(x)=0\ \Leftrightarrow \ 6e^{-17x}=1\\e^{-17x}=\frac{1}{6}\\e^{17x}=6\\17x=ln6\\x=\frac{ln6}{17}\)
\(f''(x)>0\ \Leftrightarrow \ 6e^{-17x}>1\\e^{-17x}>\frac{1}{6}\\-17x>ln\frac{1}{6}\\-17x>-ln6\\x<\frac{ln6}{17}\)
\(f''(x)<0\ \Leftrightarrow \ x>\frac{ln6}{17}\)
Funkcja jest stale rosnąca. Nie posiada ekstremum.
Dla \(x \in (- \infty ;\ \frac{ln6}{17})\) wykres jest wypukły, w przedziale \(x \in (\frac{ln6}{17};\ \infty )\) wykres jest wklęsły.
Dla \(x=\frac{ln6}{17}\) wykres ma punkt przegięcia.
\(f''(x)=\frac{918e^{-17x}\cdot(-17)(1+6e^{-17x})-918e^{-17x}\cdot2(1+6e^{-7x})\cdot6e^{-17x}\cdot(-17)}{(1+6e^{-17x})^4}=\\=\frac{-15606e^{-17x}-93636e^{-34x}+187272e^{-34x}}{(1+6e^{-17x})^3}=\\=\frac{15606(6e^{-34x}-e^{-17x})}{(1+6e^{-17x})^3}=15606\cdot\frac{6e^{-34x}-e^{-17x}}{(1+6e^{-17x})^3}=15606\cdot\frac{e^{-17x}(6e^{-17x}-1)}{(1+6e^{-17x})^3}\)
Dziedzina funkcji f(x) oraz dziedziny obu pochodnych to zbiór liczb rzeczywistych.
Pierwsza pochodna jest stale dodatnia.
Druga pochodna:
\(f''(x)=0\ \Leftrightarrow \ 6e^{-17x}=1\\e^{-17x}=\frac{1}{6}\\e^{17x}=6\\17x=ln6\\x=\frac{ln6}{17}\)
\(f''(x)>0\ \Leftrightarrow \ 6e^{-17x}>1\\e^{-17x}>\frac{1}{6}\\-17x>ln\frac{1}{6}\\-17x>-ln6\\x<\frac{ln6}{17}\)
\(f''(x)<0\ \Leftrightarrow \ x>\frac{ln6}{17}\)
Funkcja jest stale rosnąca. Nie posiada ekstremum.
Dla \(x \in (- \infty ;\ \frac{ln6}{17})\) wykres jest wypukły, w przedziale \(x \in (\frac{ln6}{17};\ \infty )\) wykres jest wklęsły.
Dla \(x=\frac{ln6}{17}\) wykres ma punkt przegięcia.