Oblicz granicę ciągu:
\(\lim_{ n\to \infty } \sqrt[n]{ \frac{3^n+2^n}{5^n+4^n} }\)
Granica ciągu
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\(\sqrt[n]{\frac{3^n+2^n}{5^n+4^n}}=\frac{\sqrt[n]{3^n+2^n}}{\sqrt[n]{5^n+4^n}}\)
\(\sqrt[n]{3^n}<\sqrt[n]{3^n+2^n}<\sqrt[n]{3^n+3^n}\\3<\sqrt[n]{3^n+2^n}<3\sqrt[n]{2}\)
\(\begin{cases}\lim_{n\to \infty } 3=3\\ \lim_{n\to \infty } 3\sqrt[n]{2}= \lim_{n\to \infty } 3\cdot \lim_{n\to \infty } \sqrt[n]{2}=3\cdot1=3\\ \end{cases} \ \ \ \Rightarrow \ \lim_{n\to \infty }\sqrt[n]{3^n+2^n}=3\)
\(\sqrt[n]{5^n}<\sqrt[n]{5^n+4^n}<\sqrt[n]{5^n+5^n}\\5<\sqrt[n]{5^n+4^n}<5\sqrt[n]{2}\)
\(\begin{cases} \lim_{n\to \infty } 5=5\\ \lim_{n\to \infty }5\sqrt[n]{2}= 5\cdot1=5 \end{cases} \ \ \ \Rightarrow \ \lim_{n\to \infty } \sqrt[n]{5^n+4^n}=5\)
\(\lim_{n\to \infty } \sqrt[n]{\frac{3^n+2^n}{5^n+4^n}}=\frac{ \lim_{n\to \infty } \sqrt[n]{3^n+2^n}}{ \lim_{n\to \infty } {\sqrt[n]{5^n+4^n}}}=\frac{3}{5}\)
\(\sqrt[n]{3^n}<\sqrt[n]{3^n+2^n}<\sqrt[n]{3^n+3^n}\\3<\sqrt[n]{3^n+2^n}<3\sqrt[n]{2}\)
\(\begin{cases}\lim_{n\to \infty } 3=3\\ \lim_{n\to \infty } 3\sqrt[n]{2}= \lim_{n\to \infty } 3\cdot \lim_{n\to \infty } \sqrt[n]{2}=3\cdot1=3\\ \end{cases} \ \ \ \Rightarrow \ \lim_{n\to \infty }\sqrt[n]{3^n+2^n}=3\)
\(\sqrt[n]{5^n}<\sqrt[n]{5^n+4^n}<\sqrt[n]{5^n+5^n}\\5<\sqrt[n]{5^n+4^n}<5\sqrt[n]{2}\)
\(\begin{cases} \lim_{n\to \infty } 5=5\\ \lim_{n\to \infty }5\sqrt[n]{2}= 5\cdot1=5 \end{cases} \ \ \ \Rightarrow \ \lim_{n\to \infty } \sqrt[n]{5^n+4^n}=5\)
\(\lim_{n\to \infty } \sqrt[n]{\frac{3^n+2^n}{5^n+4^n}}=\frac{ \lim_{n\to \infty } \sqrt[n]{3^n+2^n}}{ \lim_{n\to \infty } {\sqrt[n]{5^n+4^n}}}=\frac{3}{5}\)