Zadania z analizy matematycznej

Granice, pochodne, całki, szeregi
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
ziutekpl
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 14
Rejestracja: 16 mar 2009, 17:38

Zadania z analizy matematycznej

Post autor: ziutekpl »

http://www.mimuw.edu.pl/~baranski/teach ... 08-egz.pdf

Czy ktoś pomógłby rozwiązać zadania 2,4,7 z tego egzaminu.
Pol
Moderator
Moderator
Posty: 1026
Rejestracja: 01 gru 2008, 10:00
Lokalizacja: Częstochowa
Otrzymane podziękowania: 137 razy
Płeć:

Post autor: Pol »

Zad.2

\(\lim_{n\to \infty } \( \sqrt{n+1} - \sqrt{n} \)^4 \cdot \( 2+4+6+...+2n \)\)

policzymy najpierw sumę:

\(a_1 = 2
a_n = 2n\)


wszystkich wyrazów jest \(n\)

\(S_n = 2+4+6+...+2n = \frac {2+2n} 2 \cdot n = n^2+n\)

\(\lim_{n\to \infty } \( \sqrt{n+1} - \sqrt{n} \)^4 \cdot \(2+4+6+...+2n \)= \lim_{n\to \infty } \( \sqrt{n+1} - \sqrt{n} \)^4 \cdot \( n^2+n \)\)

do pierwszego nawiasu zastosujemy wzór skróconego mnożenia:

\(a^2-b^2 = (a-b)(a+b) \ \Rightarrow \ a-b = \frac {a^2-b^2}{a+b}\)

\(\lim_{n\to \infty } \( \sqrt{n+1} - \sqrt{n} \)^4 \cdot \( n^2+n \)=\lim_{n\to \infty } \( \frac {n+1-n}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} \)^4 \cdot \( n^2+n \)=\lim_{n\to \infty } \frac {n^2+n}{\( \sqrt{n+1} + \sqrt{n} \)^4 }=\[ \frac {st. 2}{st. 2} \] = \frac {1} {16}\)
Pol
Moderator
Moderator
Posty: 1026
Rejestracja: 01 gru 2008, 10:00
Lokalizacja: Częstochowa
Otrzymane podziękowania: 137 razy
Płeć:

Post autor: Pol »

Zad.4

Sposób pierwszy

\(y=\frac{e^x-e^{-x}}{2}\)

funkcja odwrotna, czyli tam gdzie "była" zmienna \(x\) będzie \(y\) i tam gdzie był \(y\) będzie \(x\)

\(x=\frac{e^y-e^{-y}}{2}\)

pytają nas o wartość funkcji odwrotnej dla \(x = 1\)

\(1=\frac{e^y-e^{-y}}{2}
e^y = t \ \Rightarrow \ t > 0
t^2-2t-1=0\)


\(t_1= 1-\sqrt{2} < 0
t_2 = 1+\sqrt{2}\)


\(e^y = 1+\sqrt{2}
y = ln \( 1 + \sqrt{2} \)\)


Sposób drugi

Funkcja \(y=\frac{e^x-e^{-x}}{2}\) to nic innego jak sinus hiperboliczny.

Wchodzimy na wikipedię :D Funkcje hiperboliczne odwrotne

interesuje nas funkcja pierwsza z wymienionych czyli \(arsinh \( x \) =ln \(x+\sqrt{x^2+1} \)\)

\(arsinh \( 1 \) =ln \(1+\sqrt{1+1} \)
arsinh \( 1 \) =ln \(1+\sqrt{2} \)\)
jola
Expert
Expert
Posty: 5246
Rejestracja: 16 lut 2009, 23:02
Podziękowania: 3 razy
Otrzymane podziękowania: 1967 razy
Płeć:

Post autor: jola »

w zad 2 odp: \(\lim_{n\to \infty }a_n= \frac{1}{16} \\)
ziutekpl
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 14
Rejestracja: 16 mar 2009, 17:38

Post autor: ziutekpl »

http://www.mimuw.edu.pl/~baranski/teach ... z_popr.pdf

Czy ktoś wie jak zrobić zadania 1,2,3,,4,5?
Pol
Moderator
Moderator
Posty: 1026
Rejestracja: 01 gru 2008, 10:00
Lokalizacja: Częstochowa
Otrzymane podziękowania: 137 razy
Płeć:

Post autor: Pol »

jola, skąd ta odpowiedź?
dobra, już wiem :) mój błąd ;)
ziutekpl
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 14
Rejestracja: 16 mar 2009, 17:38

Post autor: ziutekpl »

Dlaczego zamieniłeś od razu x na y. Wydaję mi się, że trzeba wyliczyć funkcję odwrotną a nie po prostu zamienić x na y. W poleceniu napisane jest że policzyć pochodną tej wyliczonej funkcji??
Pol
Moderator
Moderator
Posty: 1026
Rejestracja: 01 gru 2008, 10:00
Lokalizacja: Częstochowa
Otrzymane podziękowania: 137 razy
Płeć:

Post autor: Pol »

zamieniłem bo to chyba logiczne, skoro funkcja odwrotna :)

a po co ją wyliczać (czyli zapisać w postaci y = coś tam) jak można od razu podstawić 1 pod x, bo o to nas pytają, co nie?
ziutekpl
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 14
Rejestracja: 16 mar 2009, 17:38

Post autor: ziutekpl »

a przy funkcji y^2=x to funkcja odwrotna równa się x^2=y
Pol
Moderator
Moderator
Posty: 1026
Rejestracja: 01 gru 2008, 10:00
Lokalizacja: Częstochowa
Otrzymane podziękowania: 137 razy
Płeć:

Post autor: Pol »

ano, raczej tak :)
ziutekpl
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 14
Rejestracja: 16 mar 2009, 17:38

Post autor: ziutekpl »

no chyba raczej nie. Mylisz się.
Pol
Moderator
Moderator
Posty: 1026
Rejestracja: 01 gru 2008, 10:00
Lokalizacja: Częstochowa
Otrzymane podziękowania: 137 razy
Płeć:

Post autor: Pol »

zatem chętnie zobaczę prawidłową odpowiedź :)

zobacz ze do zad.4 dałem dwa sposoby, oba maja ten sam wynik, przy czym sposób 2 jest na 100% dobry więc...
ODPOWIEDZ