Znaleźć ekstrema i punkty przegięcia \(f(x)= \frac{1}{4}x^4-2x^2\) .
proszę o pomoc w rozwiązaniu tego zadania
pozdrawiam
Znaleźć ekstrema i punkty przegięcia
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
\(f(x)=\frac{1}{4}x^4-2x^2\\f'(x)=x^3-4x\\f'(x)=0\ \Leftrightarrow \ x(x^2-4)=x(x-2)(x+2)=0 \Leftrightarrow x=0\ \vee \ x=-2\ \vee \ x=2\\f'(x)>0 \Leftrightarrow x \in (-2;\ 0) \cup (2;\ \infty )\\f'(x)<0\ \Leftrightarrow \ x \in (- \infty ;\ -2) \cup (0;\ 2)\)
\(f''(x)=3x^2-4\\f''(x)=0\ \Leftrightarrow \ x^2=\frac{4}{3}\ \Leftrightarrow \ x=-\frac{2\sqrt{3}}{3}\ \vee \ x=\frac{2\sqrt{3}}{3}\\f''(x)>0\ \Leftrightarrow x \in (- \infty ;\ -\frac{2\sqrt{3}}{3})\ \cup \ (\frac{2\sqrt{3}}{3};\ \infty )\\f''(x)<0\ \Leftrightarrow \ x \in (-\frac{2\sqrt{3}}{3};\ \frac{2\sqrt{3}}{3})\)
\(f''(0)=-4<0\\f''(-2)=3\cdot4-4=8>0\\f''(2)=3\cdot4-4=8>0\)
Dla x=0 funkcja przyjmuje maksimum lokalne. \(f(0)=0\)
Dla x=-2 funkcja przyjmuje minimum lokalne. \(f(-2)=\frac{1}{4}\cdot16-2\cdot4=-4\)
Dla x=2 funkcja przyjmuje minimum lokalne. \(f(2)=f(-2)=-4\).
Dla \(x=\frac{2\sqrt{3}}{3}\) oraz dla \(x=\frac{2\sqrt{3}}{3}\) wykres ma punkty przegięcia.
\(f(-\frac{2\sqrt{3}}{3})=f(\frac{2\sqrt{3}}{3})=\frac{1}{4}\cdot\frac{16}{9}-2\cdot\frac{4}{3}=-\frac{20}{9}\)
Punkty przegięcia:
\((-\frac{2\sqrt{3}}{3};\ -\frac{20}{9})\ \ i\ \ (\frac{2\sqrt{3}}{3};\ -\frac{20}{9})\)
\(f''(x)=3x^2-4\\f''(x)=0\ \Leftrightarrow \ x^2=\frac{4}{3}\ \Leftrightarrow \ x=-\frac{2\sqrt{3}}{3}\ \vee \ x=\frac{2\sqrt{3}}{3}\\f''(x)>0\ \Leftrightarrow x \in (- \infty ;\ -\frac{2\sqrt{3}}{3})\ \cup \ (\frac{2\sqrt{3}}{3};\ \infty )\\f''(x)<0\ \Leftrightarrow \ x \in (-\frac{2\sqrt{3}}{3};\ \frac{2\sqrt{3}}{3})\)
\(f''(0)=-4<0\\f''(-2)=3\cdot4-4=8>0\\f''(2)=3\cdot4-4=8>0\)
Dla x=0 funkcja przyjmuje maksimum lokalne. \(f(0)=0\)
Dla x=-2 funkcja przyjmuje minimum lokalne. \(f(-2)=\frac{1}{4}\cdot16-2\cdot4=-4\)
Dla x=2 funkcja przyjmuje minimum lokalne. \(f(2)=f(-2)=-4\).
Dla \(x=\frac{2\sqrt{3}}{3}\) oraz dla \(x=\frac{2\sqrt{3}}{3}\) wykres ma punkty przegięcia.
\(f(-\frac{2\sqrt{3}}{3})=f(\frac{2\sqrt{3}}{3})=\frac{1}{4}\cdot\frac{16}{9}-2\cdot\frac{4}{3}=-\frac{20}{9}\)
Punkty przegięcia:
\((-\frac{2\sqrt{3}}{3};\ -\frac{20}{9})\ \ i\ \ (\frac{2\sqrt{3}}{3};\ -\frac{20}{9})\)