Ekstrema

[ziutekpl]

Kocioł o pojemności 1000 litrów ma kształt walca zamkniętego ze wszystkich stron. Jakie powinny być wymiary tego kotła, aby do jego wykonania zużyć jak najmniej blachy?( Grubość blachy pomijamy)

[irena]

\(V=\pi\ r^2H=1000\\H=\frac{1000}{\pi\ r^2}\\P_p=2\pi\ r^2+2\pi\ rH=2\pi\ r^2+2\pi\ r\cdot\frac{1000}{\pi\ r^2}\\P(r)=2\pi\ r^2+\frac{2000}{r}\\P'(r)=4\pi\ r-\frac{2000}{r^2}\\P'(r)=0\ \Leftrightarrow \ 4\pi\ r=\frac{2000}{r^2}\\4\pi\ r^3=2000\\r^3=\frac{500}{\pi}\\r=5\sqrt[3]{\frac{4}{\pi}}\)

\(P''(r)=4\pi+\frac{4000}{r^3}\\P''(5\sqrt[3]{\frac{4}{\pi}})=4\pi+\frac{4000}{125\cdot\frac{4}{\pi}}=4\pi+8\pi=12\pi>0\)

Czyli dla obliczonej wartości r funkcja przyjmuje minimum.

\(r=5\sqrt[3]{\frac{4}{\pi}}dm\\H=\frac{1000}{\pi\cdot25\sqrt[3]{\frac{16}{\pi^2}}}=\frac{40}{2\sqrt[3]{2\pi}}=\frac{20}{\sqrt[3]{2\pi}}dm\)