Przebieg zmienności funkcji

[Ania88]

Witam Was serdecznie. Bardzo bym prosiła o pomoc z tym zadaniem. Nie wiem zbytnio jak za nie się zabrać.

Zbadaj przebieg zmienności funkcji:



gdzie : a-7 a b-5

1. Wyznaczyć dziedzinę funkcji i sprawdzić jej parzystość.

2. Obliczyć punkty przecięcia z osiami:
a) punkty przecięcia wykresu funkcji z osią Ox (miejsca zerowe),
b) punkty przecięcia wykresu funkcji z osią Oy.

3. Obliczyć granice funkcji na krańcach przedziałów określoności dziedziny i zbadać ciągłość funkcji.

4. Wyznaczyć asymptoty:
a) pionowe,
b) poziome,
c) ukośne.

5. Określić przedziały monotoniczności funkcji oraz znaleźć ekstrema funkcji .

6. Wyznaczyć przedziały wklęsłości i wypukłości oraz znaleźć punkty przegięcia funkcji.

7. Stworzyć tabelkę zmienności funkcji.

8. Narysować wykres funkcji.

[irena]

Zbadaj przebieg zmienności funkcji:

gdzie : a-7 a b-5

Czy a=-7 i b=-5 ?

[Ania88]

a=7 b=5

[irena]

Dla a=7 i b=5:
\(f(x)=\frac{17x^2-24}{7x^2-149}\)

1.
\(7x^2-149 \neq 0\\x^2 \neq \frac{149}{7}\\D_f=R \setminus \left\{-\sqrt{\frac{149}{7}};\ \sqrt{\frac{149}{7}} \right\}\)

\(f(-x)=\frac{17\cdot(-x)^2-24}{7\cdot(-x)^2-149}=\frac{17x^2-24}{7x^2-149}=f(x)\)

Funkcja jest parzysta.

2.
a)
Miejsca zerowe:
\(f(x)=0 \Leftrightarrow 17x^2-24=0 \Leftrightarrow \ x_1=-\sqrt{\frac{24}{17}}\ \vee \ x_2=\sqrt{\frac{24}{17}}\)
Punkty przecięcia z osią Ox:
\((-\sqrt{\frac{24}{17}};\ 0);\ \ (\sqrt{\frac{24}{17}};\ 0)\)

b)
Punkt przecięcia z osią Oy:
\(f(0)=\frac{17\cdot0^2-24}{7\cdot0^2-149}=\frac{24}{149}\\(0;\ \frac{24}{149})\)

3.
\(\lim_{x\to - \infty } f(x)= \lim_{x\to \infty } f(x)= \lim_{x\to \infty } \frac{17x^2-24}{7x^2-149}= \lim_{x\to \infty } \frac{17-\frac{24}{x^2}}{7-\frac{149}{x^2}}=\frac{17}{7}\)

\(\lim_{x\to -\sqrt{\frac{149}{7}}^-} f(x)= \infty\)

\(\lim_{x\to -\sqrt{\frac{149}{7}}^+} f(x)=- \infty\)

\(\lim_{x\to \sqrt{\frac{149}{7}}^-} =- \infty\)

\(\lim_{x\to \sqrt{\frac{149}{7}}^+} = \infty\)

Dla \(x=-\sqrt{\frac{149}{7}}\) oraz \(x=\sqrt{\frac{149}{7}}\) funkcja ma punkty nieciągłości

4.
a)
Asymptoty pionowe:
\(x=\sqrt{\frac{149}{7}};\ \ x=-\sqrt{\frac{149}{7}}\)

b)
Asymptota pozioma:
\(y=\frac{17}{7}\)

c)
Nie ma asymptot ukośnych.

5.
\(f'(x)=\frac{34x(7x^2-149)-14x(17x^2-24)}{(7x^2-149)^2}=\frac{-4730x}{(7x^2-149)^2}\\D_f'=D_f\)

\(f'(x)=0\ \Leftrightarrow \ x=0\)

\(f'(x)>0 \Leftrightarrow x \in (- \infty ;\ -\sqrt{\frac{149}{7}})\ \cup \ (-\sqrt{\frac{149}{7}};\ 0)\)

\(f'(x)<0\ \Leftrightarrow \ x \in (0; \sqrt{\frac{149}{7}})\ \cup \ (\sqrt{\frac{149}{7}};\ \infty )\)

Funkcja jest rosnąca dla \(x \in (- \infty ;\ -\sqrt{\frac{149}{7}})\) oraz dla \(x \in (-\sqrt{\frac{149}{7}};\ 0)\)

Funkcja jest malejąca dla \(x \in (0;\ \sqrt{\frac{149}{7}})\) oraz dla \(x \in (\sqrt{\frac{149}{7}};\ \infty )\).

Maksimum funkcja przyjmuje dla \(x=0\). Wartość funkcji dla x=0 wynosi \(\frac{24}{149}\)

[irena]

6.
\(f''(x)=\frac{-4730(7x^2-149)^2+4730x\cdot2(7x^2-149)\cdot14x}{(7x^2-149)^4}=\frac{4730(7x^2-149)(21x^2+149)}{(7x^2-149)^4}\\D_f''=D_f\)

Druga pochodna nie ma miejsc zerowych.

\(f''(x)>0 \Leftrightarrow 7x^2>149 \Leftrightarrow x \in (- \infty ;\ -\sqrt{\frac{149}{7}})\ \cup \ (\sqrt{\frac{149}{7}};\ \infty )\)
W tych przedziałach wykres jest wypukły.

\(f''(x)<0 \Leftrightarrow x \in (-\sqrt{\frac{149}{7}};\ \sqrt{\frac{149}{7}})\)

W tym przedziale wykres jest wklęsły.

\(f''(0)<0\), więc dla x=0 funkcja przyjmuje maksimum.

Myślę, że tabelkę zrobisz sama.

[irena]

Żeby zobaczyć, jak dokładnie wygląda wykres, wejdź na stronę http://www.math.edu.pl/narzedzia
Odszukaj dział analiza, funkcje, wykresy, wrzuć wzór i "rysuj wykres"