Znaleźć ekstrema i punkty siodłowe funkcji

[koleszka]

Znaleźć ekstrema i punkty siodłowe funkcji \(f(x,y)=x^3+y^3-3xy+1\) .

proszę o pomoc w rozwiązaniu tego zadania
pozdrawiam

[agulka]

Znaleźć ekstrema i punkty siodłowe funkcji \(f(x,y)=x^3+y^3-3xy+1\) .

proszę o pomoc w rozwiązaniu tego zadania
pozdrawiam

\(f'(x) = 3x^2 - 3y\)

\(f'(y) = 3y^2 -3x\)


\(\begin{cases}3x^2-3y=0\\3y^2-3x=0\end{cases}\)

\(\begin{cases}x=0\\y=0 \end{cases} \vee \begin{cases}x=1\\y=1\end{cases}\)

mamy 2 punkty podejrzane o ekstremum A=(0,0) i B=(1,1)

\(f''_{xx} = 6x\)
\(f''_{xy} = -3\)
\(f''_{yy} = 6y\)
\(f''_{yx} = -3\)

\(\delta(A) = \begin{bmatrix}0&-3\\-3&0\end{bmatrix} = -9\)
\(\delta<0\)- w punkcie A=(0,0) brak ekstremum, jest to punkt siodłowy


\(\delta(B) = \begin{bmatrix}6&-3\\-3&6\end{bmatrix} = 36-9 = 27\)
\(\delta>0\) - to punkcie B=(1,1) jest ekstremum \(f''_{xx}>0\) to jest to minimum