granica funkcji

[luki9931]

1.Obliczyć granicę funkcji.

1.\(\lim_{x\to 3} \frac{(x-3)(-1)^{[x]}}{x^2-9}\)

2.\(\lim_{x\to 1} \frac{|tg(x-1)|}{(x-1)^2}\)

3.\(\lim_{x\to 0}(1-3x)^{ \frac{1}{x} }\)

4.\(\lim_{x\to 0}(1+kx)^{ \frac{n}{x}}\)

Wolę jakieś wskazówki jak to rozwiazac. Z góry dzięki.

[anex12345]

tą pierwsza to \((x^2-9)=(x-3)(x+3)\)
czyli masz
\(\lim_{x\to 3} \frac{(-1)^{[x]}}{x+3}\)
i wez teraz sprawdz czy granica lewostronna równa sie prawostronnej i juz masz
wydaje mi sie ze taka granica nie istnieje

[luki9931]

wyszło mi \(- \infty\) dobrze?

[Crazy Driver]

\(\lim_{x\to 3^-} f(x)= \frac{(-1)^2}{3+3}= \frac{1}{4}\)

\(\lim_{x\to 3^+} f(x)= \frac{(-1)^3}{3+3}= -\frac{1}{4}\)

\(\lim_{x\to 3^-} f(x) \neq \lim_{x\to 3^+} f(x)\)

Zatem granica w punkcie 3 nie istnieje.

Nie powinno tak być?

[Crazy Driver]

2. \(\lim_{x\to 1} \frac{|tg(x-1)|}{(x-1)^2}\) = {\(\frac{0}{0}\)} - symbol nieoznaczony

Możemy zatem skorzystać z reguły de la Hospitala:

\(\lim_{x\to 1} \frac{|tg(x-1)|}{(x-1)^2}=\lim_{x\to 1} |\frac{tg(x-1)}{(x-1)^2}|=\lim_{x\to 1} |\frac{(tg(x-1))'}{((x-1)^2)'}|\)

\(\lim_{x\to 1} |\frac{ \frac{1}{cos^2(x-1)}*(x-1)' }{2(x-1)*(x-1)'}|=\lim_{x\to 1} |\frac{1}{2(x-1)cos^2(x-1)}|\)={\(| \frac{1}{0^\pm*1}|\)}={\(\frac{1}{0^+}\)}=\(+ \infty\)

To jest na pewno dobrze. Sprawdziłem na wykresie. Za kilka, kilkanaście godzin zrobię jeszcze te pozostałe.

[Crazy Driver]

Dopiero teraz zauważyłem, że chodzi o wskazówkę, a nie rozwiązania. W takim razie wskazówka do przykładów 3 i 4:

\(\lim_{x\to 0} (1+x)^{\frac{1}{x}}=e\)

Te funkcję są podobnej postaci, wystarczy je przekształcić, granica powinna postaci typu: \(e^a\)

Pozdrawiam.