ekstremum funkcji wielu zmiennych

[tanev]

Hej, potrzebuje pomocy- zadanie jest rozwiązane prawidłowo ale nie rozumiem/nie umiem punku 2. Szukamy punktów w których funkcja może mieć ekstremum warunkowe
\((x,y)\in D \Rightarrow x^2=4-y^2\;\wedge\; f(x,y)=4-2y^2=g(y)\;\mbox{ dla }-2\leq y\leq 2\\<br />g'(y)=-4y=0\Leftrightarrow y=0\)
a mianowicie nie mam pojęcia skąd się wzieło tam \(-2\leq y\leq 2\\\). Mógłby ktoś mi wytłumaczyc?

---ZADANIE-------------------------------------------------------------------------
Znaleźć najmniejsze i największe wartości funkcji f w podanym obszarze
\(f(x,y)=x^2-y^2 ; D=\{(x,y):x^2+y^2\leq 4\}\)
\(f(x,y)=x^2-y^2\\<br />D=\{(x,y):\;x^2+y^2\leq 4\}\)

1. Szukamy punktów we wnętrzu D, w których funkcja może mieć ekstremum
\(\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=2x\\<br />\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=-2y\\<br />\begin{cases} 2x=0\\-2y=0\end{cases}\)
zatem jedynie w (0,0) może istnieć ekstremum

2. Szukamy punktów w których funkcja może mieć ekstremum warunkowe

\((x,y)\in D \Rightarrow x^2=4-y^2\;\wedge\; f(x,y)=4-2y^2=g(y)\;\mbox{ dla }-2\leq y\leq 2\\<br />g'(y)=-4y=0\Leftrightarrow y=0\)
zatem g(y) w [-2,2] może mieć ekstremum dla y=0 lub na końcach przedziału, czyli dla \(y=\pm 2\)
czyli funkcja f(x,y) może mieć ekstremum warunkowe w punktach:\((2,0),\;(-2,0),\;(0,-2),\;(0,2)\)

3. Wyznaczamy wartość funkcji w wyznaczonych punktach i znajdujemy wartość największą i najmniejszą
\(f(0,0)=0\\<br />f(2,0)=f(-2,0)=4\\<br />f(0,2)=f(0,-2)=-4\\<br />f_{\mbox{max}}=4\\<br />f_{\mbox{min}}=-4\)


Z góry wielkie dzięki!