Hej, mógłby ktoś pomóc mi w tym zadaniu?
Sprawdzić, czy funkcja \(z=x^2siny-xcosy+cos2y\) ma ekstremum w punkcie\(P(0, \frac{ \pi }{2})\)
Sprawdz czy dana funkcja ma ekstremum.
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Liczymy pochodne cząstkowe 1go rzędu
\(\frac{\partial z}{\partial x}(x,y)=2x\sin y-\cos y
\frac{\partial z}{\partial y}(x,y)=x^2\cos y+x\sin y-2\sin 2y\)
sprawdzamy czy w punkcie P obie pochodne się zerują. Powinny wyjść zero, więc przechodzimy dalej liczymy pochodne 2go rzędu
\(\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}(x,y)=2\sin y
\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}(x,y)=-x^2\sin y+x\cos y-4\cos 2y
\frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}(x,y)=\frac{\partial^2 z}{\partial y\partial x}(x,y)=2x\cos y+\sin y\)
Otrzymujemy Hessian
\(H(x,y)=\det\begin{vmatrix}2\sin y & 2x\cos y+\sin y\\
2x\cos y+\sin y & -x^2\sin y+x\cos y-4\cos 2y\end{vmatrix}\)
Badamy znak \(H(0,\frac{\pi}{2})\)
\(\det \begin{vmatrix}2\sin\frac{\pi}{2} & 2\cdot 0\cdot\cos \frac{\pi}{2}+\sin\frac{\pi}{2}\\
2\cdot 0\cdot\cos \frac{\pi}{2}+\sin\frac{\pi}{2} & 0\cdot\sin\frac{\pi}{2}+0\cos\frac{\pi}{2}-4\cos2\cdot\frac{\pi}{2} \end{vmatrix}=\det\begin{vmatrix}2 &1 \\
1 & 4\end{vmatrix}=7>0\)
Zatem w punkcie \((0.\frac{\pi}{2})\) mamy ekstremum
\(\frac{\partial z}{\partial x}(x,y)=2x\sin y-\cos y
\frac{\partial z}{\partial y}(x,y)=x^2\cos y+x\sin y-2\sin 2y\)
sprawdzamy czy w punkcie P obie pochodne się zerują. Powinny wyjść zero, więc przechodzimy dalej liczymy pochodne 2go rzędu
\(\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}(x,y)=2\sin y
\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}(x,y)=-x^2\sin y+x\cos y-4\cos 2y
\frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}(x,y)=\frac{\partial^2 z}{\partial y\partial x}(x,y)=2x\cos y+\sin y\)
Otrzymujemy Hessian
\(H(x,y)=\det\begin{vmatrix}2\sin y & 2x\cos y+\sin y\\
2x\cos y+\sin y & -x^2\sin y+x\cos y-4\cos 2y\end{vmatrix}\)
Badamy znak \(H(0,\frac{\pi}{2})\)
\(\det \begin{vmatrix}2\sin\frac{\pi}{2} & 2\cdot 0\cdot\cos \frac{\pi}{2}+\sin\frac{\pi}{2}\\
2\cdot 0\cdot\cos \frac{\pi}{2}+\sin\frac{\pi}{2} & 0\cdot\sin\frac{\pi}{2}+0\cos\frac{\pi}{2}-4\cos2\cdot\frac{\pi}{2} \end{vmatrix}=\det\begin{vmatrix}2 &1 \\
1 & 4\end{vmatrix}=7>0\)
Zatem w punkcie \((0.\frac{\pi}{2})\) mamy ekstremum