szereg zbiezny

[igor234]

Na podstawie definicji zbadaj czy poniższe szeregi są zbieżne. Jeśli tak, oblicz ich sumę

\(\sum_{n=1}^{\infty } \frac{3^n +4^{n-3}}{7^{n+3}}\)

[Jerry]

Ponieważ ciąg:
\[a_n=\dfrac{3^n +4^{n-3}}{7^{n+3}}=\dfrac{3}{2401}\cdot\left(\dfrac{3}{7}\right)^{n-1}+\dfrac{1}{38416}\cdot\left(\dfrac{4}{7}\right)^{n-1}\]
jest sumą dwóch ciągów geometrycznych zbieżnych do zera, zatem dany szereg jest zbieżny i
\[\sum\limits_{n=1}^{\infty } \dfrac{3^n +4^{n-3}}{7^{n+3}}=\dfrac{\dfrac{3}{2401}}{1-\dfrac{3}{7}}+\dfrac{\dfrac{1}{38416}}{1-\dfrac{4}{7}}=\ldots\]
Pozdrawiam

[janusz55]

Szereg jako suma dwóch zbieżnych szeregów geometrycznych jest zbieżny.

Jego suma wynosi:
\( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^{n}+ 4^{n-3}}{7^{n+3}} = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{3^{n}}{7^3\cdot 7^{n}} + \sum_{n=1}^{\infty}\frac{4^{n-3}}{7^{n+3}} = \frac{1}{7^3}\sum_{i=1}^{\infty} \left(\frac{3}{7}\right)^{n} + \frac{1}{7^3\cdot 4^3}\sum_{i=1}^{\infty} \left(\frac{4}{7}\right)^{n}= \frac{1}{343}\frac{\frac{3}{7}}{1-\frac{3}{7}} + \frac{1}{21952}\frac{\frac{4}{7}}{1 -\frac{4}{7}} = \frac{1}{343}\frac{\frac{3}{7}}{\frac{4}{7}}+ \frac{1}{21952}\frac{\frac{4}{7}}{\frac{3}{7}} = \frac{1}{343}\cdot \frac{3}{4} + \frac{1}{21952}\cdot \frac{4}{3}=\)
\( = \frac{3}{1372} + \frac{1}{5488}\cdot \frac{1}{3} = \frac{3}{1372} + \frac{1}{16464} = \frac{3\cdot 12+1}{16464} = \frac{37}{16464}.\)