Oblicz całkę

[EatonFS]

Oblicz całkę \(\int_{}^{} \frac{dx}{3 +3 \sin x+2 \cos x} \)

[Jerry]

Ja bym zaczął od
\(\sin x=\frac{2t}{1+t^2},\ \cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}, \tg{x\over2}=t\)

Pozdrawiam

[EatonFS]

Nie bardzo wiem jak to policzyć i skąd to się bierze

[Jerry]

Kalkulator, naciśnij "="

Pozdrawiam

[t_o_m_e_k]

W tej całce faktycznie należy zastosować powyższe podstawienia o których wspomniał Jerry , są to tzw. "podstawienia uniwersalne". Pytałeś skąd się one biorą, widzisz jeśli za t podstawisz tan(x/2) a następnie (tak jak w szkole) będziesz się starał wyliczyć funkcję sinus i cosinus w zależności od t , to otrzymasz powyższe tożsamości.
Co do całki, całka ta jest całką funkcji trygonometrycznej , w takich całkach w większości przypadków stosuje się wcześniej wspomniane podstawienia uniwersalne , po to by "zamienić" ją na całkę funkcji z ilorazu dwóch wielomianów, obliczenia mogą wyglądać następująco:
\(
\int\frac{dx}{3+3sin(x)+2cos(x)}=\\=\int\frac{1}{3+\frac{6t}{1+t^2}+\frac{2-2t^2}{1+t^2}}\cdot \frac{2dt}{1+t^2}=\\
=\int\frac{1}{\frac{3+3t^2+6t+2-2t^2}{1+t^2}}\cdot \frac{2dt}{1+t^2}=\\
=\int\frac{2dt}{t^2+6t+5}=\\
=2\int\frac{1}{(t+5)(t+1)}=\\
=-\frac{1}{2}\int{\frac{1}{t+5}dt} + \frac{1}{2}\int{\frac{1}{t+1}dt}=\\
=-\frac{1}{2}ln{\mid t+5 \mid} +\frac{1}{2}ln{\mid t+1 \mid}=\\
=-\frac{1}{2}ln{\mid tan(\frac{x}{2}) +5 \mid} +\frac{1}{2}ln{\mid tan(\frac{x}{2})+1 \mid} +c
\\
\)
W 5 linijce funkcję wymierną rozbiłem na sumę dwóch prostszych funkcji wymiernych (które bez problemu możemy scałkować)