Równanie różniczkowe

[Johnyb]

Witam, mam problem z tym równaniem:
\(x^2y''-2xy'+2y=x^5\ln x\)

Czyż tak nie jest lepiej?

Kod: Zaznacz cały

[tex]x^2y''-2xy'+2y=x^5\ln x[/tex]

[panb]

Witam, mam problem z tym równaniem:
\(x^2y''-2xy'+2y=x^5\ln x\)

Czyż tak nie jest lepiej?

Kod: Zaznacz cały

[tex]x^2y''-2xy'+2y=x^5\ln x[/tex]

Rozwiązujemy najpierw równanie jednorodne, czyli \(x^2y''-2xy'+2y=0\). Niech \(y=x^t \So y'=tx^{t-1},\,\,\, y''=t(t-1)x^{t-2}\). Równanie przyjmuje postać \(t(t-1)x^t-2tx^t+2x^t=0 \So t(t-1)-2t+2=0 \iff t^2-3t+2=0 \iff t_1=1,\,\,\, t_2=2\)
Zatem rozwiązaniem równania jednorodnego \(x^2y''-2xy'+2y=0\) jest funkcja \[y=c_1x^2+c_2x.\]
Zastosuję metodę uzmienniania stałych do znalezienia rozwiązania równania \(y''- \frac{2}{x}y'+ \frac{2}{x^2}y= x^3\ln x\)
\[w(x)= \begin{vmatrix}x^2&x\\2x71 \end{vmatrix} =x^2-2x^2=-x^2\\ w_1(x)= \begin{vmatrix} 0&x\\x^3\ln x&1\end{vmatrix}=-x^4\ln x,\qquad w_2(x)= \begin{vmatrix}x^2&0\\2x&x^3\ln x \end{vmatrix}=x^5\ln x \]
Wocec tego:
\[c_1(x)=\int \frac{w_1(x)}{w(x)}\,{dx}=\int x^2\ln x\,{dx}+C_1\\ c_2(x)=\int \frac{w_2(x)}{w(x)}\,{dx}=-\int x^3\ln x\,{dx}+C_2\]

Ponieważ nie jestem pewien czy docenisz pomoc, tu przerwę. Całki policz samodzielnie i wstaw policzone \(c_1(x) \text{ i } c_2(x)\) do wzoru na y w miejsce \(c_1 \text{ i } c_2\).
Podam również odpowiedź, gdyby tylko o to ci chodziło.

Odpowiedź: \(y=C_1x^2+C_2x+ \frac{1}{12}x^5\ln x - \frac{7}{144}x^5 \)

[britva]

Metodą niezdefiniowanych współczynników:
\(x^{2}\,y''-2\,x\,y'+2\,y=x^{5}\,\ln\left(x\right)\;\rightarrow\;y=\dfrac{x^{5}\,\ln\left(x\right)}{12}-\dfrac{7\,x^{5}}{144}+C\,x^{2}+C_{1}\,x\)