wartość funkcji dwóch zmiennych w punkcie

[Term123]

Proszę o pomoc w rozwiązaniu tego zadania.
Podaj, jaka jest wartość funkcji f w punkcie (0, 0), jeśli \(f(x,y)= \frac{\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}-1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+1}-1} \) dla \((x, y) \neq (0, 0)\) i wiadomo, że f jest ciągła na D = K¯ ((0, 0), 1).

[korki_fizyka]

Skoro funkcja w tym punkcie jest nieokreślona, to nie ma żadnej wartości.

[Term123]

Skoro funkcja w tym punkcie jest nieokreślona, to nie ma żadnej wartości.

Mógłbyś rozwinąć dlaczego nie możemy wyznaczyć tej wartości? Takie zadanie pojawiło się na liście zadań i odpowiedzią jest -1. Jestem trochę zielony w temacie i chciałem wiedzieć jak dojść do tego wyniku.

[panb]

Trochę źle sformułowałeś zadanie. Trzeba tak dobrać wartość w punkcie (0,0), żeby na wskazanym kole była ciągła.
@korki_fizyka tez się trochę czepia/droczy, to fakt. Ale do rzeczy

Wprowadzamy współrzędne biegunowe, tzn. \( \begin{cases}x=r\cos t\\y=r\sin t \end{cases} \). Wtedy warunek \((x,y)\to (0,0) \iff r\to 0\), a wyrażenie pod symbolem granicy ma postać:
\[ \frac{\sqrt{1-r^2}-1}{\sqrt{1+r^2}-1}= \frac{\sqrt{1-r^2}-1}{\sqrt{1+r^2}-1} \cdot \frac{\sqrt{1-r^2}+1}{\sqrt{1-r^2}+1} \cdot \frac{\sqrt{1+r^2}+1}{\sqrt{1+r^2}+1}= \frac{-r^2(\sqrt{1+r^2}+1)}{r^2(\sqrt{1-r^2}+1)} =- \frac{\sqrt{1+r^2}+1}{\sqrt{1-r^2}+1} \]

No i już widać, że \[ \Lim_{(x,y)\to (0,0) } \frac{\sqrt{1-x^2-y^2}-1}{\sqrt{x^2+y^2+1}-1}= \Lim_{r\to 0 } \frac{\sqrt{1-r^2}-1}{\sqrt{1+r^2}-1}= \Lim_{r\to0 } - \frac{\sqrt{1+r^2}+1}{\sqrt{1-r^2}+1} =- \frac{2}{2}=-1 \]

[Term123]

Dziękuję !