Równanie różniczkowe liniowe

Granice, pochodne, całki, szeregi
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Majster2
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 6
Rejestracja: 06 kwie 2021, 21:35
Podziękowania: 4 razy

Równanie różniczkowe liniowe

Post autor: Majster2 » 04 maja 2021, 20:14

Znajdź równanie ogólne tego rówania:
\(y"-8y'+16y=3e^{4x}\)
Ostatnio zmieniony 04 maja 2021, 20:39 przez Jerry, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: poprawa wiadomości, cała "matematyka" w [tex] [/tex]

Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 4777
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Podziękowania: 14 razy
Otrzymane podziękowania: 1875 razy
Płeć:

Re: Równanie różniczkowe liniowe

Post autor: panb » 04 maja 2021, 22:57

Majster2 pisze:
04 maja 2021, 20:14
Znajdź równanie ogólne tego równania:
\(y"-8y'+16y=3e^{4x}\)
\(r^2-8r+16=0 \iff (r-4)^2=0 \iff r=4\), więc rozwiązaniem jednorodnego równania jest \(y_0=Axe^{4x}+Be^{4x}\)
Metoda przewidywania. Ponieważ po prawej stronie jest też \(e^{4x}\), a czwórka jest pierwiastkiem dwukrotnym, więc przewidujemy, że rozwiązaniem równania jest \(y=y_0+y_s\), gdzie \(y_s=Cx^2e^{4x}\).

\(y_s'=4x^2Ce^{4x}+2xCe^{4x}, \,\, y_s''=16x^2Ce^{4x}+16xCe^{4x}+2Ce^{4x} \text{ więc } y_s''-8y_s'+16y_s=3e^{4x} \text{ przyjmuje postać }\\16x^2Ce^{4x}+16xCe^{4x}+2Ce^{4x}-8(4x^2Ce^{4x}+2xCe^{4x})+16\cdot Cx^2e^{4x}=3e^{4x}\\
2C=3 \iff C= \frac{3}{2} \)
.
Ostatecznie

Odpowiedź: Rozwiązaniem ogólnym równania \(y''-8y'+16y=3e^{4x}\) jest funkcja \(y=\frac{3}{2}x^2e^{4x}+Axe^{4x}+Be^{4x} \)