granica i granice iterowane

Granice, pochodne, całki, szeregi
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
paskulina7
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 38
Rejestracja: 05 lis 2016, 13:06
Podziękowania: 22 razy
Otrzymane podziękowania: 1 raz
Płeć:

granica i granice iterowane

Post autor: paskulina7 » 03 maja 2021, 19:45

Mam problem z takimi przykładem. Proszę o pomoc w rozwiązaniu, bez zamiany na współrzędne biegunowe.
Zbadaj, czy podana granica funkcji i związane z nią granice iterowane istnieją. Jeśli granica istnieje, oblicz jej wartość:
a) \( \Lim_{(x,y)\to \left(\pi,0 \right) } \frac{\sin^{2}x }{ y^{2}}\)
b)\( \Lim_{(x,y)\to \left(0,0 \right)} e^{\frac{-1}{x \cdot y} }\)

Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 4773
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Podziękowania: 14 razy
Otrzymane podziękowania: 1873 razy
Płeć:

Re: granica i granice iterowane

Post autor: panb » 04 maja 2021, 00:19

paskulina7 pisze:
03 maja 2021, 19:45
Mam problem z takimi przykładem. Proszę o pomoc w rozwiązaniu, bez zamiany na współrzędne biegunowe.
Zbadaj, czy podana granica funkcji i związane z nią granice iterowane istnieją. Jeśli granica istnieje, oblicz jej wartość:
a) \( \Lim_{(x,y)\to \left(\pi,0 \right) } \frac{\sin^{2}x }{ y^{2}}\)
Przypuśćmy, że istnieje granica \( \Lim_{(x,y)\to \left(\pi,0 \right) } \frac{\sin^{2}x }{ y^{2}}\).
Wtedy \[\Lim_{(x,y)\to \left(\pi,0 \right) }\frac{\sin^{2}x }{ y^{2}} =\Lim_{x\to\pi} \frac{\sin^2[m(x-\pi)]}{(x-\pi)^2}= \Lim_{x\to\pi} \frac{\sin^2[m(x-\pi)]}{m^2(x-\pi)^2}\cdot m^2= 1\cdot m^2=m^2\]
Zatem dla różnych wartości m ta granica będzie inna, a powinna być taka sama.

Odpowiedź: \( \Lim_{(x,y)\to \left(\pi,0 \right) } \frac{\sin^{2}x }{ y^{2}}\) nie istnieje.

Z iterowanymi mam nadzieję dasz sobie radę.

Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 4773
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Podziękowania: 14 razy
Otrzymane podziękowania: 1873 razy
Płeć:

Re: granica i granice iterowane

Post autor: panb » 04 maja 2021, 00:31

paskulina7 pisze:
03 maja 2021, 19:45
Mam problem z takimi przykładem. Proszę o pomoc w rozwiązaniu, bez zamiany na współrzędne biegunowe.
Zbadaj, czy podana granica funkcji i związane z nią granice iterowane istnieją. Jeśli granica istnieje, oblicz jej wartość:
b)\( \Lim_{(x,y)\to \left(0,0 \right)} e^{\frac{-1}{x \cdot y} }\)
Niech \(x=y= \frac{1}{n} \). Wtedy \( \Lim_{(x,y)\to \left(0,0 \right)} e^{\frac{-1}{x \cdot y} }=\Lim_{n\to\infty} e^{-n^2}=0\)

Niech \(x= \frac{1}{n},\,\,\, y= -\frac{1}{n} \). Wtedy \( \Lim_{(x,y)\to \left(0,0 \right)} e^{\frac{-1}{x \cdot y} }=\Lim_{n\to\infty} e^{n^2}=+\infty\)

Granica, gdyby istniała, powinna być taka sama.

Odpowiedź: \( \Lim_{(x,y)\to \left(0,0 \right)} e^{\frac{-1}{x \cdot y} }\) nie istnieje.