granica i granice iterowane

[paskulina7]

Mam problem z takimi przykładem. Proszę o pomoc w rozwiązaniu, bez zamiany na współrzędne biegunowe.
Zbadaj, czy podana granica funkcji i związane z nią granice iterowane istnieją. Jeśli granica istnieje, oblicz jej wartość:
a) \( \Lim_{(x,y)\to \left(\pi,0 \right) } \frac{\sin^{2}x }{ y^{2}}\)
b)\( \Lim_{(x,y)\to \left(0,0 \right)} e^{\frac{-1}{x \cdot y} }\)

[panb]

Mam problem z takimi przykładem. Proszę o pomoc w rozwiązaniu, bez zamiany na współrzędne biegunowe.
Zbadaj, czy podana granica funkcji i związane z nią granice iterowane istnieją. Jeśli granica istnieje, oblicz jej wartość:
a) \( \Lim_{(x,y)\to \left(\pi,0 \right) } \frac{\sin^{2}x }{ y^{2}}\)

Przypuśćmy, że istnieje granica \( \Lim_{(x,y)\to \left(\pi,0 \right) } \frac{\sin^{2}x }{ y^{2}}\).
Wtedy \[\Lim_{(x,y)\to \left(\pi,0 \right) }\frac{\sin^{2}x }{ y^{2}} =\Lim_{x\to\pi} \frac{\sin^2[m(x-\pi)]}{(x-\pi)^2}= \Lim_{x\to\pi} \frac{\sin^2[m(x-\pi)]}{m^2(x-\pi)^2}\cdot m^2= 1\cdot m^2=m^2\]
Zatem dla różnych wartości m ta granica będzie inna, a powinna być taka sama.

Odpowiedź: \( \Lim_{(x,y)\to \left(\pi,0 \right) } \frac{\sin^{2}x }{ y^{2}}\) nie istnieje.

Z iterowanymi mam nadzieję dasz sobie radę.

[panb]

Mam problem z takimi przykładem. Proszę o pomoc w rozwiązaniu, bez zamiany na współrzędne biegunowe.
Zbadaj, czy podana granica funkcji i związane z nią granice iterowane istnieją. Jeśli granica istnieje, oblicz jej wartość:
b)\( \Lim_{(x,y)\to \left(0,0 \right)} e^{\frac{-1}{x \cdot y} }\)

Niech \(x=y= \frac{1}{n} \). Wtedy \( \Lim_{(x,y)\to \left(0,0 \right)} e^{\frac{-1}{x \cdot y} }=\Lim_{n\to\infty} e^{-n^2}=0\)

Niech \(x= \frac{1}{n},\,\,\, y= -\frac{1}{n} \). Wtedy \( \Lim_{(x,y)\to \left(0,0 \right)} e^{\frac{-1}{x \cdot y} }=\Lim_{n\to\infty} e^{n^2}=+\infty\)

Granica, gdyby istniała, powinna być taka sama.

Odpowiedź: \( \Lim_{(x,y)\to \left(0,0 \right)} e^{\frac{-1}{x \cdot y} }\) nie istnieje.