Granica

[damian28102000]

Cześć!
Prosiłbym o wykonanie granicy:
\(\Lim_{x\to \:0}\frac{\left(\sin^2x\right)}{1-\cos x}\)
Jednakże, zależy mi aby obliczyć nie zmieniając licznika (wiem absurd!), ale tak mi wyszedł poprawny wynik (czyli 2).
Przy próbie obliczenia "za pomocą mianownika" ciągle wychodzą mi bzdury - próbuję za \(\cos x\), podstawić \(1-2\sin^2\frac{x}{2}\).

[radagast]

Cześć!
Prosiłbym o wykonanie granicy:
\(\lim \:_{x\to \:0}\frac{\left(sin^2x\right)}{1-cosx}\)
Jednakże, zależy mi aby obliczyć nie zmieniając licznika (wiem absurd!), ale tak mi wyszedł poprawny wynik (czyli 2).
Przy próbie obliczenia "za pomocą mianownika" ciągle wychodzą mi bzdury - próbuję za \(cosx\), podstawić \(1-2sin^2\frac{x}{2}\).

\( \Lim_{x\to 0 }\frac{\left(sin^2x\right)}{1-cosx}=\Lim_{x\to 0 }\frac{\left(sin^2x\right)}{1-1+2\sin^2 \frac{x}{2} }= \Lim_{x\to 0 }\frac{\left(\sin^2x\right)}{2\sin^2 \frac{x}{2} }= \frac{1}{2} \Lim_{x\to 0 }\left( \frac{\sin x}{\sin \frac{x}{2}} \right)^2=\frac{1}{2} \Lim_{x\to 0 }\left( \frac{\sin x}{x} \cdot \frac{ \frac{x}{2} }{\sin \frac{x}{2}} \cdot 2 \right)^2= \frac{1}{2} \cdot 4=2 \)
ale zdecydowanie rozsądniej jest liczyć "zmieniając licznik"

[damian28102000]

Cześć!
Prosiłbym o wykonanie granicy:
\(\lim \:_{x\to \:0}\frac{\left(sin^2x\right)}{1-cosx}\)
Jednakże, zależy mi aby obliczyć nie zmieniając licznika (wiem absurd!), ale tak mi wyszedł poprawny wynik (czyli 2).
Przy próbie obliczenia "za pomocą mianownika" ciągle wychodzą mi bzdury - próbuję za \(cosx\), podstawić \(1-2sin^2\frac{x}{2}\).

\( \Lim_{x\to 0 }\frac{\left(sin^2x\right)}{1-cosx}=\Lim_{x\to 0 }\frac{\left(sin^2x\right)}{1-1+2\sin^2 \frac{x}{2} }= \Lim_{x\to 0 }\frac{\left(\sin^2x\right)}{2\sin^2 \frac{x}{2} }= \frac{1}{2} \Lim_{x\to 0 }\left( \frac{\sin x}{\sin \frac{x}{2}} \right)^2=\frac{1}{2} \Lim_{x\to 0 }\left( \frac{\sin x}{x} \cdot \frac{ \frac{x}{2} }{\sin \frac{x}{2}} \cdot 2 \right)^2= \frac{1}{2} \cdot 4=2 \)
ale zdecydowanie rozsądniej jest liczyć "zmieniając licznik"

Dziękuję, podzieliłabyś się jeszcze skąd wzięłaś \(\frac{1}{2}\)?
\(\frac{\sin x}{x} \) wypluwa 1

\(\frac{ \frac{x}{2} }{\sin \frac{x}{2}}\) po podzieleniu przez \(\frac{x}{2}\) również wypluwa jeden

[radagast]

\( \frac{\sin x}{\sin \frac{x}{2}} =\frac{2 \cdot \frac{1}{2} \sin x}{\sin \frac{x}{2}} =\frac{2 \cdot \frac{x}{2} \cdot \frac{1}{x} \sin x}{\sin \frac{x}{2}} =\frac{2 \cdot \frac{\sin x}{x} }{ \frac{\sin \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}} } =



\frac{\sin x}{x} \cdot \frac{ \frac{x}{2} }{\sin \frac{x}{2}} \cdot 2 \)

[Jerry]

Albo, skoro ma być dziwnie, wg mnie - najdziwniej:
\(\Lim_{x\to \:0}\frac{\left(\sin^2x\right)}{1-\cos x}=\left[{0\over0}\right]\nad{\text{H}}{=}\Lim_{x\to0}{2\sin x\cos x\over0-(-\sin x)}=\Lim_{x\to0}2\cos x=2\cdot1=2\)

Pozdrawiam