Rozwiąż równania różniczkowe liniowe o stałych współczynnikach metodą przewidywań oraz metodą uzmienniania stałej:
\(a) y' + y = x^2\\
b) y' - 2y = sin(x)\\
c) y' + 3y = xe^{2x}\\
d) y' - y = xcos(x)\)
Równania różniczkowe - metoda przewidywań i uzmienniania stałej
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
- Expert
- Posty: 6261
- Rejestracja: 04 lip 2014, 14:55
- Podziękowania: 83 razy
- Otrzymane podziękowania: 1523 razy
- Płeć:
Re: Równania różniczkowe - metoda przewidywań i uzmienniania stałej
Pomoc w rozwiązywaniu zadań z fizyki, opracowanie statystyczne wyników "laborek", przygotowanie do klasówki, kolokwium, matury z matematyki i fizyki itd.
mailto: korki_fizyka@tlen.pl
mailto: korki_fizyka@tlen.pl
- panb
- Expert
- Posty: 5122
- Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
- Lokalizacja: Nowiny Wielkie
- Podziękowania: 19 razy
- Otrzymane podziękowania: 2053 razy
- Płeć:
Re: Równania różniczkowe - metoda przewidywań i uzmienniania stałej
Najpierw równanie jednorodne (do obu metod):
\[y'+y=0 \iff \frac{dy}{dx}=-y \So \frac{dy}{y}=-dx \So \int \frac{dy}{y}=-\int dx \So \ln y=-x\\y_0=Ce^{-x} \]
- metoda przewidywań: przewidujemy, że rozwiązanie \(y=y_0+y_s\)
Skoro po prawej stronie stoi \(x^2\), przewidujemy (tutaj szczegóły), że \(y_s=ax^2+bx+c\).
Współczynniki a, b i c dobierzemy tak, aby \(y_s'+y_s=x^2\)
\(y_s'=2ax+b \So y_s'+y_s=2ax+b+ax^2+bx+c\\
2ax+b+ax^2+bx+c\equiv x^2 \iff \begin{cases} a=1\\2a+b=0\\b+c=0\end{cases} \iff a=1, \, \,b=-2,\,\, c=2\)
Zatem \(y_s=2x^2-2x+2\), a wzór funkcji będącej rozwiązaniem tego równania różniczkowego ma postać
\[y=Ce^{-x}+x^2-2x+2\] - metoda uzmienniania stałej
W rozwiązaniu równania jednorodnego \(y=Ce^{-x}\) uznajemy, że C nie jest stałą niezależną od iksa , a od niego zależy, czyli \(C=C(x)\) i funkcja będąca rozwiązaniem równania różniczkowego ma postać \(y=C(x)e^{-x}\).
Skoro jest rozwiązaniem, to \(y'+y=x^2, \text{ ale } y'=C'(x)e^{-x}-C(x)e^{-x}\), więc
\(y'+y=x^2 \iff C'(x)e^{-x}-C(x)e^{-x} +C(x)e^{-x}=x^2\iff C'(x)e^{-x}=x^2 \iff C'(x)=x^2e^x\)
Skoro \(C'(x)=x^2e^x \So C(x)=\int x^2e^x\,{dx}= \begin{vmatrix}u=x^2&du=2xdx\\dv=e^x\,{dx}&v=e^x \end{vmatrix}\stackrel{\text{przez części}}{=} x^2e^x-2\int xe^x\,{dx}=\dots\\C(x)=x^2e^x-2xe^x+2e^x+c\)
W takim razie \[ y=C(x)e^{-x}=(x^2e^x-2xe^x+2e^x+c)e^{-x}=ce^{-x}+x^2-2x+2\]
Pozostałe spróbuj samodzielnie.
Re: Równania różniczkowe - metoda przewidywań i uzmienniania stałej
Już rozumiem, dziękuję ślicznie.