Pierwiastek wielomianu - dowód

Granice, pochodne, całki, szeregi
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
kamwik16
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 6
Rejestracja: 11 lut 2021, 19:28
Podziękowania: 2 razy
Płeć:

Pierwiastek wielomianu - dowód

Post autor: kamwik16 » 20 lut 2021, 16:45

Przyjmijmy dowolny ciąg liczb dodatnich \(\lambda_0,\ldots,\lambda_{n-1}\) sumujących się do \(1+\epsilon\), gdzie \(\epsilon\ge 0\). Udowodnij, że wielomian \(p\in\pi_n(\mathbb{C})\) postaci \(p(z)=z^n-\sum_{k=0}^{n-1}\lambda_k z^k\) ma co najmniej jeden pierwiastek \(z\ge 1\).

Awatar użytkownika
szw1710
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 439
Rejestracja: 04 sty 2020, 13:47
Lokalizacja: Cieszyn
Podziękowania: 1 raz
Otrzymane podziękowania: 134 razy
Płeć:

Re: Pierwiastek wielomianu - dowód

Post autor: szw1710 » 20 lut 2021, 18:36

Nie mam czasu na głębsze zastanowienie, ale spójrz na twierdzenie Rouche.
Oglądaj moją playlistę Matura rozgrzewka.

kamwik16
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 6
Rejestracja: 11 lut 2021, 19:28
Podziękowania: 2 razy
Płeć:

Re: Pierwiastek wielomianu - dowód

Post autor: kamwik16 » 20 lut 2021, 19:00

kamwik16 pisze:
20 lut 2021, 16:45
Przyjmijmy dowolny ciąg liczb dodatnich \(\lambda_0,\ldots,\lambda_{n-1}\) sumujących się do \(1+\epsilon\), gdzie \(\epsilon\ge 0\). Udowodnij, że wielomian \(p\in\pi_n(\mathbb{C})\) postaci \(p(z)=z^n-\sum_{k=0}^{n-1}\lambda_k z^k\) ma co najmniej jeden pierwiastek \(z\ge 1\).
Nie do końca poprawnie zapisałem treść. Poniżej poprawiona wersja:
Przyjmijmy dowolny ciąg liczb dodatnich \(\lambda_0,\ldots,\lambda_{n-1}\) sumujących się do \(1+\epsilon\), gdzie \(\epsilon\ge 0\). Udowodnij, że wielomian \(p\in\pi_n(\mathbb{C})\) postaci \(p(z)=z^n-\sum_{k=0}^{n-1}\lambda_k z^k\) ma co najmniej jeden pierwiastek spełniający warunek \(|z|\ge 1\).

kamwik16
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 6
Rejestracja: 11 lut 2021, 19:28
Podziękowania: 2 razy
Płeć:

Re: Pierwiastek wielomianu - dowód

Post autor: kamwik16 » 21 lut 2021, 13:10

szw1710 pisze:
20 lut 2021, 18:36
Nie mam czasu na głębsze zastanowienie, ale spójrz na twierdzenie Rouche.
Nigdy nie stosowałem tego twierdzenia. Jeżeli znalazłbyś trochę czasu, to jesteś w stanie mnie naprowadzić na zamysł tego dowodu?

Awatar użytkownika
szw1710
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 439
Rejestracja: 04 sty 2020, 13:47
Lokalizacja: Cieszyn
Podziękowania: 1 raz
Otrzymane podziękowania: 134 razy
Płeć:

Re: Pierwiastek wielomianu - dowód

Post autor: szw1710 » 21 lut 2021, 19:52

Gdyby zachodziła nierówność\[|z^n|\leqslant\left|\sum_{k=0}^{n-1}\lambda_kz^k\right|\]na okręgu \(|z|=1\), czyli zwyczajnie\[1\leqslant\left|\sum_{k=0}^{n-1}\lambda_kz^k\right|\]na tym okręgu, to z twierdzenia Rouchego w kole \(|z|<1\) wielomiany\[-\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}\lambda_kz^k\quad\text{oraz}\quad p(z)\] mają tyle samo miejsc zerowych. No ale ta suma ma ich co najwyżej \(n-1\). A \(p(z)\) ma \(n\) miejsc zerowych na mocy zasadniczego twierdzenia algebry. No więc prosty wniosek, że przynajmniej jedno z nich ma moduł większy lub równy \(1.\) Ale chyba nie ma szans na tę nierówność. To pewne pomysły przy niedzieli...
Oglądaj moją playlistę Matura rozgrzewka.