Znaleźć dyfeomorfizm

[g82kasia]

Czy ktoś mógłby mi pomóc - nie mam zielonego pojęcia jak do tego podejść

Znaleźć dyfeomorfizm pewnego przedziału otwartego \(P \subset \rr^2\) na obszar \(G \subset \rr^2\), narysować ten obszar:
a) \(G = \{(x, y) \in \rr^2 : y^2 < x < 2y^2 ,\ 2x^2 < y < 3x^2\}\);
b) \(G = \{(x, y) \in \rr^2: 0 < x,\ 0 < y < x^2\}\);
c) \(G = \{(x, y) \in \rr^2: 1 < x^2 + y^2 < 4,\ 0 < x < y < 2x\}\).

[janusz55]

a)
\( G = \{(x, y) ∈ \rr^2 : y^2 < x < 2y^2, \ \ 2x^2 < y < 3x^2\} \)

Znajdziemy dyfeomorfizm pewnego przedziału \( P \subset \rr^2 \)na obszar \( G \) (równoległobok krzywoliniowy).

Oznaczając \( u = x y^{-2}, \ \ v = y x^{-2}, \) stwierdzamy, że warunek \( (x,y )\in G \) jest równoważny warunkowi \( 1 < u < 2 \) i

\( 2 < v < 3, \) czyli \( (u,v) \) należy do prostokąta \( P = (1, 2)\times (2, 3).\)

Odwzorowanie \( \phi \) określone na \( G \) wzorem \( \psi(x,y) = (xy^{-2}, \ \ x^{-2}y ) \) przekształca zatem \( P \) na \( G.\)

Odwzorowanie odwrotne \( \phi = \psi^{-1} \), określone wzorem \( \phi(u, v) = \left( \frac{1}{uv^2}, \ \ \frac{1}{uv} \right), \ \ (u,v) \in P. \)

Ponieważ Jakobian \( J(u, v) = \det \left[ \begin{matrix} -\frac{1}{u^2v^2}& -\frac{2}{u v^3} \\ -\frac{1}{u^2 v} & -\frac{1}{uv^2}\end{matrix} \right] = -\frac{1}{u^3v^4} < 0, \) dla dowolnego \( (u, v) \in P, \) więc odwzorowanie \( \phi(u, v) = \left( \frac{1}{uv^2}, \ \ \frac{1}{uv} \right), \ \ (u,v) \in P \) jest żądanym dyfeomorfizmem.

\( b), c) \) rozwiązujemy podobnie.

[g82kasia]

Panie Januszu bardzo dziękuję - niestety nie potrafię sobie poradzić z b i c czy pomógłby mi Pan ?

[janusz55]

b)
\( G = \{ (x,y) \in \rr^2: x >0, \ \ 0 < y < x^2 \} \)

\( u = x, \ \ v = \frac{y}{x^2}. \)

\( P = \{(u, v) \in \rr^2 : u> 0, \ \ 0 < v < 1 \} \)

\( g(x,y) = \left( x, \ \ \frac{y}{x^2}\right) \)

\( f(u,v ) = g^{-1}(x, y) = ( u, \ \ u^2v ). \)

\( J(u,v) = \det \left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 2uv & u^2 \end{matrix} \right] = u^2 >0. \)

Dyfeomorfizm: \( f(u,v ) = ( u, \ \ u^2 v). \)

[janusz55]

c)
\( G = \{ (x, y):\in \rr^2: 1 < x^2 + y^2 < 4 , \ \ 0 < x < y < 2x \} \)- otwarty segment pierścienia kołowego.

Współrzędne biegunowe:

\( \mathcal{B} (r, \ \phi) = [x = r\cos(\phi),\ \ y = r\sin(\phi)]\)

\( P = \{ (r, \phi)\in \rr^2 : 1 < r < 2, \ \ \ \frac{1}{4} \pi < \phi < \arctg(2) \} \)

\( J(r, \phi) = det \left[ \begin{matrix} \cos(\phi) & \sin(\phi)\\ -r\sin(\phi) & r\cos(\phi) \end{matrix} \right] = r > 0.\)

Dyfeomorfizm \( \mathcal{B}(r, \phi) = [ r\cos(\phi),\ \ r\sin(\phi)]\)

[AGA2022]

Bardzo dziękuję

[AGA2022]

Dziękuję miałam podobny problem