Całka niewymierna z pierwiastkiem w mianowniku

Granice, pochodne, całki, szeregi
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Male_Zlo
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 3
Rejestracja: 08 wrz 2020, 19:58
Podziękowania: 1 raz

Całka niewymierna z pierwiastkiem w mianowniku

Post autor: Male_Zlo » 09 wrz 2020, 19:45

Jak podejść do takiego potwora?

a) \(\int_{0}^{2} \frac{3x-1}{\sqrt{4-x^2}}\)
b) \(\int_{0}^{\sqrt{2}} \frac{3-x^2}{ \sqrt{2-x^2}}\)

Proszę o podpowiedź z czego warto skorzystać robiąc takie zadanie lub jak zacząć. Gdyby ktoś się pokusił o rozwiązanie choćby jednego z tych zadań byłabym bardzo wdzięczna. Mam nadzieję, że wtedy już jakoś drugie sama dam radę zrobić.

Edit: chyba już wiem jak zrobić pierwsze. Ale gdzieś popełniłam błąd. Jak poprawię to wrzucę.

kerajs
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1973
Rejestracja: 14 lis 2016, 15:38
Podziękowania: 13 razy
Otrzymane podziękowania: 847 razy
Płeć:

Re: Całka niewymierna z pierwiastkiem w mianowniku

Post autor: kerajs » 10 wrz 2020, 02:59

a) \(\int_{0}^{2} \frac{3x-1}{\sqrt{4-x^2}}dx\)

1) \(\int \frac{3x}{\sqrt{4-x^2}}dx=[t=4-x^2]=....\)

2) \(\int \frac{1}{\sqrt{4-x^2}}dx=\frac12\int \frac{1}{\sqrt{1-( \frac{x}{2} )^2}}dx=[t=\frac{x}2]=....\)

b) \(\int_{0}^{\sqrt{2}} \frac{3-x^2}{ \sqrt{2-x^2}}dx\)
Wpierw metoda współczynników nieoznaczonych:
\(\int \frac{3-x^2}{ \sqrt{2-x^2}}dx=(Ax+B)\sqrt{2-x^2}+k\int \frac{dx}{ \sqrt{2-x^2}}\)
Powstałą całkę liczy się jak w a)2) lub gotowcem:
\(\int \frac{dx}{ \sqrt{a^2-x^2}}=\arcsin \frac{x}{a}+C\)