badanie zbieżności szeregów

Granice, pochodne, całki, szeregi
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Doleon
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 7
Rejestracja: 11 lip 2020, 16:08
Podziękowania: 5 razy
Płeć:

badanie zbieżności szeregów

Post autor: Doleon »

Witam wszystkich,
bardzo proszę o pomoc przy następujących zadaniach.

zad 1
Zbadać zbieżność szeregów liczbowych stosując kryterium d'Alemberta

c) \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{(0.7n)^n} = \lim_{n\to \infty} \frac{n!(n+1)}{(0.7(n+1))^{n+1}} \times \frac{(0.7n)^n}{n!} =
\lim_{n\to \infty} \frac{n+1}{(0.7n+0.7)^n(0.7n+0.7)} \times \frac{(0.7n)^n}{1} \)


zad 2
Zbadać zbieżność szeregów liczbowych stosując kryterium Cauchy'ego

c) \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n}(\frac{3n+1}{2n})^{n^2} = \lim_{n\to \infty} \sqrt[n]{\frac{1}{2^n}(\frac{3n+1}{2n})^{n^2}} =
\lim_{n\to \infty} \frac{\sqrt[n]{1}}{2}(\frac{3n+1}{2n})^n \)


d) \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(3n)^3}{(0.3e)^n} = \lim_{n\to \infty} \sqrt[n]{\frac{(3n)^3}{(0.3e)^n}} = \lim_{n\to \infty} \frac{\sqrt[n]{(3n)^3}}{0.3e} \)

zad 3
Do jakiej granicy dąży n-ty wyraz szeregu ? Czy na tej podstawie można wnioskować o zbieżności szeregu ?

Muszę uzyskać odpowiedź czy szereg jest zbieżny lub rozbieżby, przy \( \lim_{n\to \infty} a_{n} \)

\(\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{(0.4+2n)}{(2n)})^n \)

zad 4
Skorzystaj z metody rozkładu na ułamki proste, wyznacz n-tą sumę częściową Sn i jej granicę (sumę szeregu).

s = \( \lim_{n\to \infty} S_n \)

\(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n+2)(2n+4)} \)

zad 5
Korzystając z twierdzenia o sumie szeregów zbieżnych, wyznacz sumę.

s = ?

\(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n+5^n+10^n}{13^n} \)

W dwóch pierwszych próbowałem swoich sił, ale nie jestem w stanie uprościć ich bardziej, aby otrzymać wynik. Pozostałych trzech nie rozumiem. Z góry dziękuję za wszelką pomoc.
kerajs
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 2963
Rejestracja: 14 lis 2016, 14:38
Podziękowania: 33 razy
Otrzymane podziękowania: 1303 razy
Płeć:

Re: badanie zbieżności szeregów

Post autor: kerajs »

Błąd na błędzie. Nawet jak jakiś fragmencik jest poprawnie liczony, to nie rozumiesz po co to robisz i dlaczego właśnie tak.
Doleon pisze: 11 lip 2020, 16:22 zad 1
Zbadać zbieżność szeregów liczbowych stosując kryterium d'Alemberta

c) \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{(0.7n)^n} = \lim_{n\to \infty} \frac{n!(n+1)}{(0.7(n+1))^{n+1}} \times \frac{(0.7n)^n}{n!} =
\lim_{n\to \infty} \frac{n+1}{(0.7n+0.7)^n(0.7n+0.7)} \times \frac{(0.7n)^n}{1} \)
Suma to nie jest granica z ilorazu kolejnych wyrazów!
\( \lim_{n\to \infty} \frac{n!(n+1)}{0,7^{n+1}(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{0,7^n n^n}{n!} =
\lim_{n\to \infty} \frac{(n+1)n^n}{0,7 (n+1)^{n+1}}= \lim_{n\to \infty} \frac{10}{7} ( \frac{n}{n+1} )^n=\\=\lim_{n\to \infty} \frac{10}{7} \left[(1- \frac{1}{n+1} )^{n+1} \right] ^{ \frac{n}{n+1} }= \frac{10}{7}(e^{-1})^1= \frac{10}{7e} <1 \)

Szereg jest zbieżny.
Doleon pisze: 11 lip 2020, 16:22 zad 2
Zbadać zbieżność szeregów liczbowych stosując kryterium Cauchy'ego

c) \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n}(\frac{3n+1}{2n})^{n^2} = \lim_{n\to \infty} \sqrt[n]{\frac{1}{2^n}(\frac{3n+1}{2n})^{n^2}} =
\lim_{n\to \infty} \frac{\sqrt[n]{1}}{2}(\frac{3n+1}{2n})^n \)
Raczej
\(\lim_{n\to \infty} \sqrt[n]{\frac{1}{2^n}(\frac{3n+1}{2n})^{n^2}} =
\lim_{n\to \infty} \frac{1}{2}(\frac{3n+1}{2n})^2= \frac{9}{8} >1 \)

Szereg nie jest zbieżny.
Doleon pisze: 11 lip 2020, 16:22 d) \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(3n)^3}{(0.3e)^n} = \lim_{n\to \infty} \sqrt[n]{\frac{(3n)^3}{(0.3e)^n}} = \lim_{n\to \infty} \frac{\sqrt[n]{(3n)^3}}{0.3e} \)
\( \lim_{n\to \infty} \sqrt[n]{\frac{(3n)^3}{(0,3e)^n}} = \frac{1}{0,3e}= \frac{10}{3e}> \frac{10}{3 \cdot 3} >1 \)
Szereg nie jest zbieżny.
Doleon pisze: 11 lip 2020, 16:22 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n+5^n+10^n}{13^n} \)
\(...= \sum_{n=1}^{\infty} ( \frac{3}{13} )^n+ \sum_{n=1}^{\infty} ( \frac{5}{13} )^n+ \sum_{n=1}^{\infty} ( \frac{10}{13} )^n= \frac{\frac{3}{13} }{1-\frac{3}{13} } +\frac{\frac{5}{13} }{1-\frac{5}{13} } +\frac{\frac{10}{13} }{1-\frac{10}{13} }= \\= \frac{3}{10}+\frac{5}{8}+\frac{10}{3}=... \)
Doleon
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 7
Rejestracja: 11 lip 2020, 16:08
Podziękowania: 5 razy
Płeć:

Re: badanie zbieżności szeregów

Post autor: Doleon »

Mój błąd, w zapisie popełniłem wpadkę. Nie powinienem dawać tam znaku równości od wyrażenia z sumą szeregu.

Wydaje mi się, że rozumiem po co to robię, tylko źle to zapisałem. Bardzo dziękuję za odpowiedź. Jakby ktoś jeszcze mógł mi pomóc przy pozostałych przykładach to również z góry dziękuję.
kerajs
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 2963
Rejestracja: 14 lis 2016, 14:38
Podziękowania: 33 razy
Otrzymane podziękowania: 1303 razy
Płeć:

Re: badanie zbieżności szeregów

Post autor: kerajs »

Doleon pisze: 11 lip 2020, 16:22
zad 3
Do jakiej granicy dąży n-ty wyraz szeregu ? Czy na tej podstawie można wnioskować o zbieżności szeregu ?

Muszę uzyskać odpowiedź czy szereg jest zbieżny lub rozbieżby, przy \( \lim_{n\to \infty} a_{n} \)

\(\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{(0.4+2n)}{(2n)})^n \)
Tu masz sprawdzić warunek konieczny zbieżności szeregu, czyli czy \(\lim_{n\to \infty} a_{n} =0\)
\(\lim_{n\to \infty} (\frac{0,4+2n}{2n})^n =\lim_{n\to \infty} (1+\frac{0,4}{2n})^{\frac{2n}{0,4}\cdot \frac{0,4}{2}}=e^{0,2}>0\)
szereg jest rozbieżny.
Doleon pisze: 11 lip 2020, 16:22 zad 4
Skorzystaj z metody rozkładu na ułamki proste, wyznacz n-tą sumę częściową Sn i jej granicę (sumę szeregu).

s = \( \lim_{n\to \infty} S_n \)

\(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n+2)(2n+4)} \)
\(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n+2)(2n+4)} =\frac14 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n+1)(n+2)}=\frac14 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n+2)-(n+1)}{(n+1)(n+2)}=\\=
\frac14 \sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2})=\frac14(\frac12-\frac13+\frac13-\frac14+\frac14-\frac15+....)=\frac14\frac12=\frac18\)
Doleon
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 7
Rejestracja: 11 lip 2020, 16:08
Podziękowania: 5 razy
Płeć:

Re: badanie zbieżności szeregów

Post autor: Doleon »

Bardzo dziękuję za odpowiedź, życzę miłego weekendu.
Pozdrawiam serdecznie :)
ODPOWIEDZ