Twierdzenie Bolzano

[zemtam]

Mam pytanie odnośnie twierdzenia Bolzano wykorzystanego w rozwiązaniu tego zadania. Jak ono brzmi i dlaczego można wykorzystać je w rozwiązaniu tego zadania?

Niech \(f:[0,1] \to [0,1]\) będzie taką funkcją różniczkowalną, że \(|f'(x)| \neq 1\) dla dowolnego \(x \in [0,1]\).
Udowodnij, że istnieje \(\alpha \in [0,1]\) i \(\beta \in [0,1]\), takie że \(f(\alpha) = \alpha\) i \(f(\beta) = 1 -\beta\).
Skoro \(f\) jest różniczkowalna na \([0,1]\), to jest również ciągła na \([0,1]\). Rozważmy funkcje \(g(x) = f(x) - x\) i \(h(x) = f(x) - (1-x)\), które są ciągłe na \([0, 1]\). Stosując twierdzenia Bolzano otrzymujemy, iż istnieje takie \(\alpha\), \(\beta \in [0,1]\), że \(g(\alpha) = 0\) oraz \(h(\beta) = 0\). A stąd istnieją \(\alpha\), \(\beta \in [0,1]\), takie że \(f(\alpha) = \alpha\) i \(f(\beta) = 1 -\beta\).

[Jerry]

Otwarta jest kwestia terminologii. Przeczytaj:
https://pl.wikipedia.org/wiki/Twierdzenie_Darboux

Pozdrawiam