metoda przewidywań

Granice, pochodne, całki, szeregi
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
asia4321
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 9
Rejestracja: 20 sty 2020, 02:51
Podziękowania: 1 raz

metoda przewidywań

Post autor: asia4321 » 22 maja 2020, 21:01

Bardzo proszę o pomoc w równaniu różniczkowym metodą przewidywań
y''-4y'+3y=e^(2x)*sinx

kerajs
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1869
Rejestracja: 14 lis 2016, 15:38
Podziękowania: 9 razy
Otrzymane podziękowania: 798 razy
Płeć:

Re: metoda przewidywań

Post autor: kerajs » 22 maja 2020, 21:25

\(r^2-4r+3=0\\
(r-1)(r-3)=0\\
y_0=C_1e^x+C_2e^{3x}\\
y_s=e^{2x}(A\sin x+B\cos x)\)

obliczasz \(y'_s, y''_s\) wstawiasz je do równania i wyliczasz wartości A i B,
Rozwiązanie to:
\(y=y_o+y_s=C_1e^x+C_2e^{3x}+e^{2x}(A\sin x+B\cos x)\) dla wyliczonych A i B

Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 3617
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Podziękowania: 7 razy
Otrzymane podziękowania: 1271 razy
Płeć:

Re: metoda przewidywań

Post autor: panb » 22 maja 2020, 21:51

1. Rozwiązujemy równanie jednorodne: \(y''-4y'+3y=0 \So r^2-4r+3=0 \iff r=1 \vee r=3\)
Rozwiązanie równania jednorodnego: \(y_0=C_1e^x+C_2e^{3x}\)
Przewidywana postać rozwiązania \(y=y_0+y_s\), gdzie\( y_s=Ae^{2x}\sin x\), przy czym \(y''_s-4y'_s+3y_s\equiv e^{2x}\sin x\)
  • \(y_s=Ae^{2x}\sin x\\
    y'_s=Ae^{2x}\cos x+2Ae^{2x}\sin x\\
    y''_s=4Ae^{2x}\cos x+3Ae^{2x}\sin x\)
Teraz \(y''_s-4y'_s+3y_s\equiv e^{2x}\sin x \iff 4ae^{2x}\cos x+3Ae^{2x}\sin x -4(Ae^{2x}\cos x+2Ae^{2x}\sin x)+3(Ae^{2x}\sin x) \equiv e^{2x}\sin x \iff -2Ae^{2x}\sin x\equiv e^{2x}\sin x \So A=- \frac{1}{2} \)

Odpowiedź: \(y=C_1e^x+C_2e^{3x}- \frac{1}{2}e^{2x}\sin x\)


kerajs
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1869
Rejestracja: 14 lis 2016, 15:38
Podziękowania: 9 razy
Otrzymane podziękowania: 798 razy
Płeć:

Re: metoda przewidywań

Post autor: kerajs » 22 maja 2020, 22:13

panb pisze:
22 maja 2020, 21:51
Przewidywana postać rozwiązania \(y=y_0+y_s\), gdzie\( y_s=Ae^{2x}\sin x\),
Jesteś pewien, że przewidywanie nie musi zawierać także kosinusa?

Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 3617
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Podziękowania: 7 razy
Otrzymane podziękowania: 1271 razy
Płeć:

Re: metoda przewidywań

Post autor: panb » 22 maja 2020, 22:27

Tak (dałem cosinusa i się wyeliminował :) )

kerajs
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1869
Rejestracja: 14 lis 2016, 15:38
Podziękowania: 9 razy
Otrzymane podziękowania: 798 razy
Płeć:

Re: metoda przewidywań

Post autor: kerajs » 22 maja 2020, 22:32

To prawidłowość, czy może szczęśliwy przypadek?

Przykład takiego przypadku:
Ułamek \( \frac{16}{64} \) skracam skreślając szóstki i dostaję \( \frac{1}{4}\)