Mierzalność

Granice, pochodne, całki, szeregi
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
mela1015
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 488
Rejestracja: 20 kwie 2013, 11:00
Podziękowania: 229 razy
Otrzymane podziękowania: 2 razy

Mierzalność

Post autor: mela1015 »

Uzasadnić mierzalność funkcji f ( względem q - ciała zbiorów mierzalnych w sensie Lebesque'a)
Załączniki
km.JPG
km.JPG (10.8 KiB) Przejrzano 1514 razy
grdv10
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1039
Rejestracja: 04 sty 2020, 12:47
Podziękowania: 9 razy
Otrzymane podziękowania: 388 razy
Płeć:

Re: Mierzalność

Post autor: grdv10 »

Mamy \[\large f(x)=2\chi_{[1,2)}(x)+x\cdot \chi_{[2,4]\cap\Bbb{IQ}}(x).\]Oba zbiory są mierzalne, więc ich funkcje charakterystyczne są mierzalne. Kombinacja liniowa funkcji mierzalnych jest funkcją mierzalną.
mela1015
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 488
Rejestracja: 20 kwie 2013, 11:00
Podziękowania: 229 razy
Otrzymane podziękowania: 2 razy

Re: Mierzalność

Post autor: mela1015 »

szw1710 pisze: 18 sty 2020, 19:40 Mamy \[\large f(x)=2\chi_{[1,2)}(x)+x\cdot \chi_{[2,4]\cap\Bbb{IQ}}(x).\]Oba zbiory są mierzalne, więc ich funkcje charakterystyczne są mierzalne. Kombinacja liniowa funkcji mierzalnych jest funkcją mierzalną.
Skąd wiadomo, że oba zbiory są mierzalne i skąd wiadomo, że funkcje charakterystyczne są również mierzalne? Proszę o wytłumaczenie, ponieważ nie rozumiem jak sprawdzać czy funkcja jest mierzalna.
grdv10
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1039
Rejestracja: 04 sty 2020, 12:47
Podziękowania: 9 razy
Otrzymane podziękowania: 388 razy
Płeć:

Re: Mierzalność

Post autor: grdv10 »

Zbiór mierzalny to inna nazwa zbioru należącego do sigma-ciała. Wszystkie występujące tu zbiory są mierzalne w sensie Lebesgue'a.

Wykaż następujący lemat: niech \(\mathfrak M\) będzie sigma-ciałem podzbiorów zbioru \(X\) oraz \(A\subset X\). Funkcja \(\chi_A\) jest mierzalna wtedy i tylko wtedy, gdy \(A\in\mathfrak M.\)

Mając ten lemat i twierdzenie, że iloczyn oraz kombinacja liniowa funkcji mierzalnych są funkcjami mierzalnymi, masz zadanie rozwiązane. Dla tego rodzaju funkcji, jak tu podajesz, sprawdzanie mierzalności bezpośrednio z definicji bywa kłopotliwe. Tak więc warto mieć jakieś dodatkowe narzędzia. Inaczej szorujesz korytarz szczoteczką do zębów.

Bezpośrednio z definicji łatwo wykazać lemat, który wspomniałem. I to jest jedyne potrzebne tu bezpośrednie sprawdzenie. No może jeszcze mierzalność funkcji \(h(x)=x\), ale to sprawa trywialna: dla każdego \(a\in\Bbb R\) zbiór \(\{x\colon h(x)<a\}=(-\infty,a)\) jest mierzalny w sensie Lebesgue'a.
ODPOWIEDZ