Całka nieoznaczona

[bla123]

\( \int_{}^{} \) \[\frac{dx}{(cosx)^2* \sqrt[3]{1+tgx}} \]

Proszę o zrozumiałe rozwiązanie

[radagast]

Nie wiem czy to będzie zrozumiałe, bo to "przez zgadnięcie":
\(\displaystyle \int \frac{dx}{\cos^2 x \sqrt[3]{1+\tg x} } = \int \frac{1}{\cos^2 x } \cdot ( 1+\tg x)^{- \frac{1}{3} }dx = \frac{3}{2}( 1+\tg x)^{ \frac{2}{3} } +C\)

[korki_fizyka]

A tym łatwiej się zgaduje im więcej całek się już rozwiązało.

[bla123]

Nie wiem czy to będzie zrozumiałe, bo to "przez zgadnięcie":
\(\displaystyle \int \frac{dx}{\cos^2 x \sqrt[3]{1+\tg x} } = \int \frac{1}{\cos^2 x } \cdot ( 1+\tg x)^{- \frac{1}{3} }dx = \frac{3}{2}( 1+\tg x)^{ \frac{2}{3} } +C\)

Zrozumiałem z tego zapisu 2/3
Ehh no ciężko mi zgadywać, dopiero rozpoczynam przygodę z całkowaniem. Mogłaby Pani rozwinąć? ii Jaka metoda?

[korki_fizyka]

Dokładnie taka jaką Ci napisała czy wiesz co to jest całkowanie ?

[Oczek]

Niektóre całki rozwiązuje się przez "przekształcenia". W takich przypadkach zbędne są metody typu podstawianie czy całkowanie przez części.

W tym przykładzie dx jest w liczniku, więc można zapisać 1/coś * dx wtedy dx wskoczy na górę. Tak samo z drugim składnikiem pod pierwiastkiem gdyby w liczniku była 1 to pomnożona przez dx wyjdzie że dx będzie w liczniku.

Jeśli masz coś pod pierwiastkiem to możesz zmienić na potęgę, np x pod pierwiastkiem to x do potęgi 1/2

A jeśli chcesz pozbyć się czegoś w liczniku np 1/2 to będzie 2 do potęgi -1

dlatego tu masz potęgę - 1/3 bo pierwiastek 3 stopnia zamieniony na potęgę da 1/3 a żeby pozbyć się 1 z licznika dodajesz minus przed potęgę

a dalej za x bierzesz 1+tgx, idziesz według wzoru X do potęgi n

W tym przykładzie -1/3 + 1 da 2/3 a na początku masz 1/(-1/3+1) = 1/2/3 = 2/3

[korki_fizyka]

Spoko ale błagam używaj LaTeXa Oczek https://zadania.info/fil/latex.pdf
w okienku odpowiedzi na dole klikasz na "Pełny edytor i podgląd" i masz u góry pasek z \(\)

[bla123]

No dobra zatem dochodzimy do momentu kiedy mamy
\( \int_{ \frac{(1+tgx)^{-1/3}}{(cosx)^2} }^{} dx \)

Wstawiamy za nawias w liczniku X i korzystamy ze wzoru. Tylko co się dzieje z tym cosinusem? Czemu właściwie dochodzimy do wyniku licząc całkę z licznika, a zostawiamy mianownik?

[radagast]

Tak się szczęśliwie składa, że \((\tg x)'= \frac{1}{\cos^2 x} \), a \(\tg x \) jest funkcją wewnętrzną .

[radagast]

Rozumowanie można zapisać tak:
\(\displaystyle \int \frac{dx}{\cos^2 x \sqrt[3]{1+\tg x} } = \begin{vmatrix}\tg x=t\\x= \arctg t\\ dx= \frac{dt}{1+t^2} \\ \frac{1}{\cos^2x} =t^2+1 \end{vmatrix}= \int \frac{(t^2+1) \frac{dt}{1+t^2}}{ \sqrt[3]{1+t} } = \int \frac{dt}{ \sqrt[3]{1+t} } =\int (1+t)^{ -\frac{1}{3} }dt =\frac{3}{2}(1+t)^{ \frac{2}{3} }+C\\=
\displaystyle \frac{3}{2}(1+\tg x)^{ \frac{2}{3} }+C \)
Nie ma zgadywania, jest zwykłe podstawienie

[bla123]

I właśnie oto mi chodziło. Już rozumiem. Dzięki!