Na podstawie definicji

[enta]

Na podstawie definicji granicy ciągu wykazać, że
a) \(lim_{n \to \infty } \frac{2n-1}{3n+2} = \frac{2}{3} \)
b) \(lim_{n \to \infty } \frac{1}{2n+1} \)
c)\( lim_{n \to \infty } 2^{-n}=0\)

[panb]

Zapomniałaś dodać JAKIEJ definicji. Zakładam, że Cauchy'ego, bo to częściej się zdarza.
Definicja Cauch'ego
\[ \Lim_{n\to \infty }a_n=g \iff \wedge_{\varepsilon>0}\,\,\, \vee_{ n_0\in \nn}: \wedge_{ n>n_0} \,\, |a_n-g|<\varepsilon\]

1. Niech \( \varepsilon >0 \) będzie dowolną liczbą rzeczywistą dodatnią. Wtedy
   \(| \frac{2n-1}{3n+2}- \frac{2}{3} |< \varepsilon \iff | \frac{6n-3-6n-4}{3(3n+2)} |< \varepsilon \iff | \frac{-7}{9n+6} |< \varepsilon \iff \frac{7}{9n+6}< \varepsilon \iff 9 \varepsilon n+6 \varepsilon >7 \iff n> \frac{7-6 \varepsilon }{9 \varepsilon } \) równoważności zachodzą wobec faktu, że \( \varepsilon >0\)
   Jeśli weźmiemy \(n_0=\lfloor \frac{7-6 \varepsilon }{9 \varepsilon } \rfloor \), to dla dowolnego dodatniego \(\varepsilon\) , mamy
   \( \wedge _{n>n_0}| \frac{2n-1}{3n+2} - \frac{2}{3} |<\varepsilon\) co dowodzi, że liczba \( \frac{2}{3}\) jest granicą ciągu \(a_n= \frac{2n-1}{3n+2} \)

Sprawdzenie:

• Weźmy \( \varepsilon =0,01\). Wtedy \(n_0=\lfloor \frac{7-0,06}{0,09} \rfloor=77\).
  To znaczy, że dla każdego \(n>77,\,\,\, |\frac{2n-1}{3n+2}- \frac{2}{3} |<0,01 \) czyli wszystkie wyrazy od 78. począwszy (czyli prawie wszystkie wyrazy tego ciągu) leżą w odległości mniejszej niż 0,01 od liczby \( \frac{2}{3} \). To znaczy, że liczba \(\frac{2}{3}\) jest granicą tego ciągu.

Jeśli weźmiemy \(n_0=78\), to otrzymamy: \(| \frac{236}{155}- \frac{2}{3} |=|-0,00988\ldots|<0,01 \)