Najlepsze rozwiązanie sprzecznego układu równań

[Megu]

Dobry wieczór,
Dostałem zadanie pt. znaleźć najlepsze rozwiazanie sprzecznego układu równań i nie do końca wiem jak się w ogóle za to zabrać bo nigdzie w internecie nie mogę znaleźć informacji na ten temat
równanie
\(
\begin{cases}
x+2y=4\\
x+y=5\\
3x+5y=12
\end{cases}
\)

[grdv10]

Te trzy proste nie przecinają się w jednym punkcie, a ich punkty przecięcia tworzą trójkąt. Zapewne należy wyznaczyć jakiś punkt w tym trójkącie, który będzie minimalizować np. sumę kwadratów odległości od wierzchołków tego trójkąta. To jet dość dobre podejście w optymalizacji.

Wierzchołkami tymi są \[ A(6,-1),\ B\left(\frac{13}{2},-\frac{3}{2}\right),\ C(4,0)\]Niech \(P(x,y)\). Suma kwadratów odległości punktu \(P\) od wierzchołków \(A,B,C\) ma postać\[(x-6)^2+(y+1)^2+\left(x-\frac{13}{2}\right)^2+\left(y+\frac{3}{2}\right)^2+(x-4)^2+y^2=3 \, x^{2} + 3 \, y^{2} - 33 \, x + 5 \, y + \frac{195}{2}.\]Po sprowadzeniu trójmianów \(3x^2-33x\) oraz \(3y^2+5y\) do postaci kanonicznej otrzymamy\[3\left(x-\frac{11}{2}\right)^2+3\left(y+\frac{5}{6}\right)^2+\frac{14}{3}.\]Oznacza to, że minimum tej sumy osiągamy dla \(x=\frac{11}{2},\ y=-\frac{5}{6}.\) Jest to szukane najlepsze rozwiązanie we wskazanym sensie. Leży wewnątrz tego trójkąta.

Można obejrzeć rysunek wykonany w Desmosie: https://www.desmos.com/calculator/fpzt5agbkk.

[nijak]

Wierzchołek C w tym trójkącie ma wspólrzędne (4,0).

[grdv10]

Wierzchołek C w tym trójkącie ma wspólrzędne (4,0).

Tak, dziękuję. Poprawiłem już wcześniej. Gdy zrobiłem rysunek, punkt minimalizujący leżał daleko poza trójkątem i stąd wiedziałem, że mam błąd rachunkowy. Teraz rozwiązanie jest już poprawne. Oczywiście sam wszystkiego nie liczyłem. Pomaga mi program SageMath.

[Jerry]

Wg mnie najlepszym rozwiązanie danego układu równań są współrzędne punktu równoodległego od prostych opisanych układem i należącego do trójkąta wskazanego przez szw1710 (czyli środka okręgu wpisanego w ten trójkąt). Wtedy trzeba rozwiązać układ:
\[\dfrac{|x+2y-4|}{\sqrt5}=\dfrac{|x+y-5|}{\sqrt2}=\dfrac{|3x+5y-12|}{\sqrt{34}}\]
Jeśli się nie pomyliłem:
\[\begin{cases}x=\frac{12+3\sqrt{10}-2\sqrt{17}+\sqrt{170}}{4}\approx5,9\\ y=\frac{-18+5\sqrt{10}-4\sqrt{17}+\sqrt{170}}{4}\approx-1,1\end{cases}\]
Pozdrawiam

[grdv10]

Wg mnie najlepszym rozwiązanie danego układu równań są współrzędne punktu równoodległego od prostych opisanych układem i należącego do trójkąta wskazanego przez szw1710 (czyli środka okręgu wpisanego w ten trójkąt). Wtedy trzeba rozwiązać układ:
\[\dfrac{|x+2y-4|}{\sqrt5}=\dfrac{|x+y-5|}{\sqrt2}=\dfrac{|3x+5y-12|}{\sqrt{34}}\]
Jeśli się nie pomyliłem:
\[\begin{cases}x=\frac{12+3\sqrt{10}-2\sqrt{17}+\sqrt{170}}{4}\approx5,9\\ y=\frac{-18+5\sqrt{10}-4\sqrt{17}+\sqrt{170}}{4}\approx-1,1\end{cases}\]
Pozdrawiam

Ponieważ nie wskazano kryterium optymalizującego, to należy je sobie wybrać. I tak odbieram Twój post. Po prostu posłużyłeś się innym kryterium, co nie obniża jakości mojego podejścia. A czemu nie dla przykładu środek ciężkości? Swoje rozwiązanie wybrałem mając na uwadze metodę najmniejszych kwadratów.

Wrzuciłem ten układ równań do SageMath. Bezpośrednio nie potrafił go rozwiązać. Po podniesieniu do kwadratu pojawiły się cztery rozwiązania (numerycznie), jedno z nich ma takie przybliżenie, jakie podajesz.

Informacja dla Czytelników: powyższy układ określa równania dwusiecznych kątów utworzonych przez proste zawierające boki trójkąta, po dwa równania na każdą parę prostych, obie dwusieczne są zawsze prostopadłe. Więc trzeba wybrać właściwe dwusieczne, żeby odnosiły się do kątów wewnętrznych trójkąta. Stąd cztery rozwiązania, bo z układu trzeba wziąć dwa równania, więc dwie dwusieczne. Oczywiście trzeciej nie trzeba, bo wszystkie dwusieczne kątów wewnętrznych trójkąta przecinają się w jednym punkcie.

[Jerry]

[OT]

Dyskutujemy o rozwiązaniu zadania z chorą treścią!

Gdybym rozwiązywał zadanie:

Znajdź najlepsze rozwiązanie równania \(x+2y=9\).

to wybrałbym spośród rozwiązań: \(\begin{cases}x=3\\y=3\end{cases}\), bo... \(G(x,2y)\) jest wtedy największa a ja wybrałem takie kryterium.

Ja wybrałem opcję znalezienia

...par uporządkowanych najbliższych rozwiązaniom trzech równań liniowych...

bo tak zrozumiałem, Ty -

... par uporządkowanych najbliższym rozwiązaniom trzech układów liniowych...

i mogłeś! Nigdzie temu nie zanegowałem!

O której opcji myślał ćwiczeniowiec - nie mam pojęcia. Może user/userka nam o tym kiedyś napisze...

Pozdrawiam
PS. Opcja ze środkiem ciężkości się chyba nie obroni...

[grdv10]

[OT]

Dyskutujemy o rozwiązaniu zadania z chorą treścią!

Nie sądzę, że to OT, bo uważam, że podniosłeś ważną kwestię. Otóż treść nie jest według mnie chora. Tylko w matematyce problemy są dobrze określone i wszystko jest jasne. W zagadnieniach inżynierskich model matematyczny należy sobie samemu zbudować. Wchodzi w to również dobór odpowiednich kryteriów. Tak więc jestem zadowolony z Twojego rozwiązania. Mamy wobec tego dwa warianty, dwa kryteria. W zagadnieniach inżynierskich przydatność każdego z nich weryfikuje praktyka. Więc być może prowadzący chciał nauczyć również doboru kryteriów.

Pozdrawiam równie serdecznie.

PS. Jest jeszcze jeden inżynierski aspekt sprawy. Często współczynniki równań pochodzą z pomiarów i układ równań, który ma teoretycznie być oznaczony, jest sprzeczny (przecież te trzy równania mogłyby obrazować np. środkowe jakiegoś trójkąta, a współczynniki mogłyby być zmierzone z jakimś błędem). Warto spojrzeć do mojego tekstu o poszukiwaniu źródła pożaru przez obserwacje z wież: https://byc-matematykiem.pl/matematyka- ... strazakow/.

[Megu]

Witam jako, że rozgorzała dyskusja na temat treści tego zadania i możliwości jego obliczenia, postanowiłem rozmówić się z moim wykładowcą. Podczas ćwiczeń wyszło na to, że rozwiązanie tego zadania jest bardziej niż trywialne i sprowadza się do podstawowych operacji na macierzach, zadanie sprowadza się do wpisania tego w macierz
\(
A^{T}*[A|b]
\left[\begin{array}{cc|c}
1&1&4\\
1&2&5\\
1&4&12
\end{array}\right]
\)
[ciach]
Tą macierz transponujemy i mnożymy ją przez macierz A potem po prostu liczymy dalej za pomocą metody eliminacji Gaussa-Jordana. Bardzo często pojawiają się parametry.
Wcześniej pewien z panów powiedział o aspekcie inżynierskim tego typu zadań tak, owe zadanie pochodzi ze zbioru zadań dla studentów Informatyki (kończąca się tytułem inżyniera). I wydaje mi się, że może się przydać w przypadku badania sztucznej inteligencji której modele matematyczne w dużej mierze opierają się na algebrze liniowej

[grdv10]

Podrzuć, proszę, tytuł i autora podręcznika, z którego korzysta wykładowca. A wszystko co mówisz o algebrze liniowej w kontekście AI i ML jest szczerą prawdą. Od dwóch lat szkolę w matematyce osobę zajmującą się tymi sprawami, więc też zdobyłem jakieś rozeznanie w tych sprawach.

[Megu]

Podrzuć, proszę, tytuł i autora podręcznika, z którego korzysta wykładowca

Jerzy Topp "Algebra Liniowa" - Wydawnictwo Uniwersytetu Gdańskiego. Moim wykładowca jest sam autor tego podręcznika, ale, z tego co widzę sporo rzeczy z niego zostało pominięte, przez to, że semestr jest bardzo krótki w tym roku