Określ liczbę rozwiązań układu równań w zależności od wartości parametru p:
\(\begin{cases}x+p^2y+z = -p \\
x+y-pz=p^2 \\
y+z=1\end{cases}
\)
Czy ktoś mi pokaże jak zapisać to w macierz?
Określ liczbę rozwiązań układu równań
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
grdv10
- Fachowiec
- Posty: 1039
- Rejestracja: 04 sty 2020, 12:47
- Podziękowania: 9 razy
- Otrzymane podziękowania: 388 razy
- Płeć:
Re: Określ liczbę rozwiązań układu równań
Można to zrobić analizując rzędy macierzy głównej i uzupełnionej.
Macierz główna:\[A=\begin{vmatrix}1&p^2&1\\ 1&1&-p\\ 0&1&1\end{vmatrix}\] Widać, że jeden z minorów \(2\times 2\) jest zawsze niezerowy, a więc rząd macierzy A jest równy albo 2, albo 3. Zależy to od wyznacznika tej macierzy, który wynosi \(-p^{2} + p + 2\) i zeruje się dla \(p\in\{-1,2\}\).
1. Jeśli \(p\not\in\{-1,2\}\), to \(\text{rank} A=3,\) a co za tym idzie i rząd macierzy uzupełnionej jest równy 3 i układ jest oznaczony (ma dokładnie jedno rozwiązanie). Można to też wywnioskować z twierdzenia Cramera.
2. Jeśli \(p=2\), to macierz \(A\) ma rząd 2, a macierz uzupełniona\[ U=\begin{vmatrix} 1 & p^2 & 1 & -p \\ 1 &1 &-p & p^2 \\ 0 &1 &1 & 1 \end{vmatrix}\]ma rząd 3, więc układ jest sprzeczny.
3. Jeśli \(p=-1\), to obie macierze mają rząd 2, więc w rozwiązaniu parametrycznym układu (jest niesprzeczny na mocy tw. Kroneckera-Capelliego) mamy 3-2=1 parametr i układ jest nieoznaczony. Ma więc nieskończenie wiele rozwiązań.
Macierz główna:\[A=\begin{vmatrix}1&p^2&1\\ 1&1&-p\\ 0&1&1\end{vmatrix}\] Widać, że jeden z minorów \(2\times 2\) jest zawsze niezerowy, a więc rząd macierzy A jest równy albo 2, albo 3. Zależy to od wyznacznika tej macierzy, który wynosi \(-p^{2} + p + 2\) i zeruje się dla \(p\in\{-1,2\}\).
1. Jeśli \(p\not\in\{-1,2\}\), to \(\text{rank} A=3,\) a co za tym idzie i rząd macierzy uzupełnionej jest równy 3 i układ jest oznaczony (ma dokładnie jedno rozwiązanie). Można to też wywnioskować z twierdzenia Cramera.
2. Jeśli \(p=2\), to macierz \(A\) ma rząd 2, a macierz uzupełniona\[ U=\begin{vmatrix} 1 & p^2 & 1 & -p \\ 1 &1 &-p & p^2 \\ 0 &1 &1 & 1 \end{vmatrix}\]ma rząd 3, więc układ jest sprzeczny.
3. Jeśli \(p=-1\), to obie macierze mają rząd 2, więc w rozwiązaniu parametrycznym układu (jest niesprzeczny na mocy tw. Kroneckera-Capelliego) mamy 3-2=1 parametr i układ jest nieoznaczony. Ma więc nieskończenie wiele rozwiązań.