Wyznacz rozwiązanie
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Wyznacz rozwiązanie
Wyznaczyć rozwiązania bazowe układu równań \(\begin{cases}2x+y-z=2 \\x+3y+z=5 \end{cases} \)
-
grdv10
- Fachowiec
- Posty: 1039
- Rejestracja: 04 sty 2020, 12:47
- Podziękowania: 9 razy
- Otrzymane podziękowania: 388 razy
- Płeć:
Re: Wyznacz rozwiązanie
Rzędy macierzy głównej i uzupełnionej wynoszą 2, więc układ ma rozwiązanie z jednym parametrem. Wśród trzech niewiadomych parametr można wybrać na trzy sposoby. Rozwiązaniem bazowym jest to, w którym parametr ma wartość zerową.
Tak więc mamy możliwe rozwiązania parametryczne:
\(x = \dfrac{4}{5} z + \dfrac{1}{5}, \quad y = -\dfrac{3}{5}z + \dfrac{8}{5}\) z rozwiązaniem bazowym \(x =\dfrac{1}{5},\quad y = \dfrac{8}{5},\quad z=0,\)
\(x = -\dfrac{4}{3}y + \dfrac{7}{3},\quad z = -\dfrac{5}{3}y + \dfrac{8}{3}\) z rozwiązaniem bazowym \(x =\dfrac{7}{3},\quad y=0,\quad z =\dfrac{8}{3},\)
\(y = -\dfrac{3}{4}x + \dfrac{7}{4},\quad z = \dfrac{5}{4}x - \dfrac{1}{4}\) z rozwiązaniem bazowym \(x=0,\quad y =\dfrac{7}{4},\quad z =- \dfrac{1}{4}.\)
Zdecydowałem się na pokazanie wszystkich możliwych rozwiązań parametrycznych. Jednak łatwo wszystkie rozwiązania bazowe ustalić bezpośrednio z wyjściowego układu. Wystarczy zerować każdą ze zmiennych (ogólnie każdy zestaw możliwych parametrów). Oczywiście wcześniej trzeba ustalić liczbę parametrów występujących w rozwiązaniu, stąd moja uwaga o rzędach w kontekście twierdzenia Kroneckera-Capelliego.
Dla \(z=0\) mamy \(\begin{cases}2x+y=2 \\x+3y=5 \end{cases},\) skąd \(x =\dfrac{1}{5},\quad y = \dfrac{8}{5},\quad z=0.\)
Dla \(y=0\) mamy \(\begin{cases}2x-z=2 \\x+z=5 \end{cases},\) skąd \(x =\dfrac{7}{3},\quad y=0,\quad z =\dfrac{8}{3}.\)
Wreszcie dla \(x=0\) mamy \(\begin{cases}y-z=2 \\3y+z=5 \end{cases},\) skąd \(x=0,\quad y =\dfrac{7}{4},\quad z =- \dfrac{1}{4}.\)
Tak więc mamy możliwe rozwiązania parametryczne:
\(x = \dfrac{4}{5} z + \dfrac{1}{5}, \quad y = -\dfrac{3}{5}z + \dfrac{8}{5}\) z rozwiązaniem bazowym \(x =\dfrac{1}{5},\quad y = \dfrac{8}{5},\quad z=0,\)
\(x = -\dfrac{4}{3}y + \dfrac{7}{3},\quad z = -\dfrac{5}{3}y + \dfrac{8}{3}\) z rozwiązaniem bazowym \(x =\dfrac{7}{3},\quad y=0,\quad z =\dfrac{8}{3},\)
\(y = -\dfrac{3}{4}x + \dfrac{7}{4},\quad z = \dfrac{5}{4}x - \dfrac{1}{4}\) z rozwiązaniem bazowym \(x=0,\quad y =\dfrac{7}{4},\quad z =- \dfrac{1}{4}.\)
Zdecydowałem się na pokazanie wszystkich możliwych rozwiązań parametrycznych. Jednak łatwo wszystkie rozwiązania bazowe ustalić bezpośrednio z wyjściowego układu. Wystarczy zerować każdą ze zmiennych (ogólnie każdy zestaw możliwych parametrów). Oczywiście wcześniej trzeba ustalić liczbę parametrów występujących w rozwiązaniu, stąd moja uwaga o rzędach w kontekście twierdzenia Kroneckera-Capelliego.
Dla \(z=0\) mamy \(\begin{cases}2x+y=2 \\x+3y=5 \end{cases},\) skąd \(x =\dfrac{1}{5},\quad y = \dfrac{8}{5},\quad z=0.\)
Dla \(y=0\) mamy \(\begin{cases}2x-z=2 \\x+z=5 \end{cases},\) skąd \(x =\dfrac{7}{3},\quad y=0,\quad z =\dfrac{8}{3}.\)
Wreszcie dla \(x=0\) mamy \(\begin{cases}y-z=2 \\3y+z=5 \end{cases},\) skąd \(x=0,\quad y =\dfrac{7}{4},\quad z =- \dfrac{1}{4}.\)