Układ równań liniowych z parametrem

Algebra liniowa, algebra, wektory, liczby zespolone
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Adamp
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 13
Rejestracja: 06 paź 2022, 16:08
Podziękowania: 7 razy
Płeć:

Układ równań liniowych z parametrem

Post autor: Adamp »

Dla jakich wartości parametru (a),układ ma nieskończenie wiele rozwiązań.
\(\begin{cases}
ax+(a-1)y+(a-2)z=2a+1\\
ax+(2a-2)y+(2a-4)z=3a+1\\
2ax+(2a-2)y+(3a-6)z=5a+2
\end{cases}\)
grdv10
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1039
Rejestracja: 04 sty 2020, 12:47
Podziękowania: 9 razy
Otrzymane podziękowania: 388 razy
Płeć:

Re: Układ równań liniowych z parametrem

Post autor: grdv10 »

Macierz główna jest osobliwa dla \(a\in\{0,1,2\}.\) Zawsze ma wtedy rząd równy 2, a układ zawsze ma nieskończenie rozwiązań, o ile macierz uzupełniona też ma rząd 2. Dzieje się tak, gdy tylko, gdy \(a=1\). Odp. \(a=1\).

Ponadto: dla \(a\in\{0,2\}\) układ jest sprzeczny, a dla \(a\not\in\{0,1,2\}\) jest oznaczony.

Kod: Zaznacz cały

sage: def A(a):
....:     return (matrix([[a,a-1,a-2],[a,2*a-2,2*a-4],[2*a,2*a-2,3*a-6]]))
....:
sage: A(a).det()
(a - 1)*(a - 2)*a
Teraz rzędy

Kod: Zaznacz cały

sage: A(0).rank()
2
sage: A(1).rank()
2
sage: A(2).rank()
2
Macierz uzupełniona

Kod: Zaznacz cały

sage: def U(a):
....:     return (matrix([[a,a-1,a-2,2*a+1],[a,2*a-2,2*a-4,3*a+1],[2*a,2*a-2,3*a-6,5*a+2]]))
sage: U(0).rank()
3
sage: U(1).rank()
2
sage: U(2).rank()
3
Adamp
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 13
Rejestracja: 06 paź 2022, 16:08
Podziękowania: 7 razy
Płeć:

Re: Układ równań liniowych z parametrem

Post autor: Adamp »

Coś się zepsuło z kodem :/
grdv10
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1039
Rejestracja: 04 sty 2020, 12:47
Podziękowania: 9 razy
Otrzymane podziękowania: 388 razy
Płeć:

Re: Układ równań liniowych z parametrem

Post autor: grdv10 »

Nic się nie zepsuło. Jest to kod programu SageMath. W swoim poście wskazałem na metodę rzędów macierzy związaną z twierdzeniem Kroneckera-Capelliego, zaś pokazany kod i wyniki obliczeń z programu SageMath ma na celu tylko potwierdzenie wyników, jakie Czytelnik powinien uzyskać prowadząc np. ręczne obliczenia. Zacznij od obliczenia wyznacznika, a potem już wszystko pójdzie łatwo, bo wystarczy wstawić konkretne wartości \(a\), czyli \(0,1,2\).
ODPOWIEDZ