Równanie charakterystyczne macierzy

[Robakks]

Znalazłem w tablicach Mizerskiego wzór na współczynniki wielomianu charakterystycznego

\(a_{n}=\left(-1\right)^{n}\\a_{k}=-\frac{1}{n-k}\left(\sum\limits_{j=1}^{n-k-1}a_{n-j}\mathrm{Tr}\left(A^{j}\right)\right)\)

jednak coś jest nie tak w tym wzorze

Jeżeli prawdą jest że \(\mathrm{Tr} \left( A^{m}\right)= \sum\limits_{k=1}^{n} \lambda^{m} \)
to można wyprowadzić rekurencyjny wzór na współczynniki wielomianu charakterystycznego
wykorzystując podstawowe wiadomości o funkcjach symetrycznych

Ślad potęgi macierzy dawałby wtedy sumę jednakowych potęg a my chcielibyśmy dostać funkcje symetryczne podstawowe

Wzór Newtona pozwala wyrazić sumę jednakowych potęg za pomocą funkcji symetryczny podstawowych
a my tutaj potrzebujemy czegoś odwrotnego

[Robakks]

Tak naprawdę to Mizerski pomylił tutaj jedynie indeksy
(indeks górny sumy oraz indeks tego współczynnika wewnątrz sumy)

Aby to poprawić potrzebujemy:

Twierdzenia pozwalającego stwierdzić że \(\mathrm{Tr \left(A^{m} \right) }= \sum\limits_{i=1}^{n}\lambda_{i}^{m} \)
Dostaniemy wtedy funkcje symetryczną będącą sumą jednakowych potęg a my potrzebujemy funkcji symetrycznych podstawowych
bo to one występują we wzorach Vieta
Wzory Newtona-Girarda wiążą funkcje symetryczne będące sumą jednakowych potęg z funkcjami symetrycznymi podstawowymi
Aby je wyprowadzić przydatna będzie pochodna wielomianu (zarówno liczona w postaci iloczynowej jak i ogólnej),
takie sztuczki jak odjęcie pewnego zera czy zastosowanie wzorów skróconego mnożenia
Tak dostaniemy pewien rekurencyjny związek między funkcjami symetrycznymi będącymi sumą jednakowych potęg oraz funkcjami symetrycznymi podstawowymi
Ale to nam wystarczy
Aby dostać wzór o który chodziło Mizerskiemu musimy na koniec skorzystać ze wzorów Vieta aby wyrazić funkcje symetryczne podstawowe za pomocą współczynników szukanego wielomianu

Ktoś chętny do poprawienia tego wzoru ?