Płaszczyna i proste

[_Dawid_]

Mam problem z tym zadaniem:

Sprawdź, czy przez proste \(\begin{cases}2x+3y-z-1=0\\x+y-3z=0\end{cases}\) i \(\begin{cases}x+5y+4z-3=0\\x+2y+2z-1=0\end{cases}\) można poprowadzić płaszczyznę.

Otóż wpadłem na pomysł wyliczeniu dla każdej prostej wektora i sprawdzeniu czy są one równoległe czy prostopadłe - nie są. Czy o czymś zapomniałem?

[Jerry]

... Czy o czymś zapomniałem?

Chyba tak...
Pomysł pierwszy
Pierwsza z tych prostych przechodzi np. przez \(A(-1,1,0)\) i jest rozpinana przez wektor \(\vec a=[2,3,-1]\times[1,1,-3]=[-8,5,-1]\)
Druga przechodzi np. przez \(B(2,1,-1)\) i jest rozpinana przez wektor
\(\vec b=[1,5,4]\times[1,2,2]=[2,2,-3]\)
Obydwie są równoległe do płaszczyzny \(\pi\) takiej, że wektor normalny do niej \(\vec {N_\pi}=[1,2,2]\), bo \(\vec a\times\vec b=[-8,5,-1]\times[2,2,-3]=[-13,-26,-26]=-13\cdot[1,2,2]\). Zatem
\(\pi: x+2y+2x+D=0\)
Pozostaje sprawdzić, czy istnieje takie \(D\), że \(A\in\pi\wedge B\in\pi\). Ponieważ \(-1\ne-2\), to... dane proste nie są współpłaszczyznowe

Pomysł drugi
Proste współpłaszczyznowe są

1. równoległe - wykluczyłeś
2. przecinające się, czyli istnieje rozwiązanie układu: \(\begin{cases}2x+3y-z=1\\x+y-3z=0\\x+5y+4z=3\\x+2y+3z=1\end{cases}\)
   Elementarnie (oczywiście można macierzanką!): z (i) i (iv) mamy \(x+y-4z=0\), wobec (ii) mamy \(\begin{cases}z=0\\y=-x\end{cases}\) i do sprzeczności blisko...

Pozdrawiam
PS. Powinienem Twoje załączniki potraktować jako skany... nie ma problemu z przepisaniem treści takich zadań w kodzie!

[_Dawid_]

Dzięki za poświęcony czas!

Po potraktowaniu macierzą tego układu wyszła sprzeczność tzn. uzyskałem dwie wartości liczbowe dla "z"