Pierwiastki liczby zespolonej

[_Dawid_]

Witam

Na płaszczyźnie Gaussa znajdź stopień pierwiastka liczby \(z\), jeżeli wiadomo, że rozwiązania pierwiastka leżą na krzywej o równaniu \(x^2+y^2=1\) oraz że dwa z rozwiązań należą do funkcji liniowej o współczynniku kierunkowym \(\sqrt{3}\) , przechodzącej przez początek układu współrzędnych. Znajdź stopień pierwiastka oraz liczbę podpierwiastkową,

Więc zrobiłem tak: Porównałem te dwie funkcję (żeby znaleźć punkt przecięcia się okręgu i linii) i znalazłem dwa pierwiastki \(\color{red}{z}=\pm(0,5+{\sqrt{3}\over2}\color{red}{i})\)

Ale co dalej?

[Jerry]

... i znalazłem dwa pierwiastki \(y=\pm{\sqrt{3}\over2}\)

Raczej \(z_k={1\over2}+{\sqrt3\over2}i\) i \(z_m=-{1\over2}-{\sqrt3\over2}i\). Pozostaje Ci wskazanie takich \(z,n\), że \(\begin{cases}z_k^n=z\\z_m^n=z\end{cases}\)

Pozdrawiam

[_Dawid_]

Właśnie w tym momencie mam problem, bo nie wiem jak to wyliczyć dalej, czyżbym miał podnosić wyliczone pierwiastki do kolejnych potęg aż do powrotu do otrzymania początkowego pierwiastka?

[Jerry]

... i znalazłem dwa pierwiastki \(y=+/-(0,5+{\sqrt{3}\over2})\)

Poprawiłeś zapis na jeszcze bardziej bezsensowny...

...\(z_k={1\over2}+{\sqrt3\over2}i\) i \(z_m=-{1\over2}-{\sqrt3\over2}i\)...

Zauważ, że argumentami tych liczb są \({\pi\over3}\) i \({4\pi\over3}\). Najmniejszą, nietrywialną, ich wspólną wielokrotnością jest \(2\pi\). Czyli można postawić hipotezę, że \(z_k^6=z_m^6\)

Uwaga: \(6\cdot{4\pi\over3}=8\pi\equiv2\pi\)

Pozdrawiam

PS.

\(n=6,\,z=1\)