Liczby zespolone - trójkąt

Algebra liniowa, algebra, wektory, liczby zespolone
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
NumberTwo
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 10
Rejestracja: 07 lis 2020, 13:27
Podziękowania: 4 razy
Płeć:

Liczby zespolone - trójkąt

Post autor: NumberTwo »

Liczba \(z=3+4i \) jest jednym z wierzchołków trójkąta równobocznego
wpisanego w okrąg o środku w 0 i promieniu 5. Znaleźć pozostałe wierzchołki
tego trójkąta

Liczba \(z= 4 − 3i\) jest jednym z wierzchołków ośmiokąta foremnego
wpisanego w okrąg o środku w 0 i promieniu 5. Znaleźć pozostałe wierzchołki
tego ośmiokąta
Awatar użytkownika
Jerry
Expert
Expert
Posty: 3459
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 50 razy
Otrzymane podziękowania: 1895 razy

Re: Liczby zespolone - trójkąt

Post autor: Jerry »

NumberTwo pisze: 24 maja 2022, 22:46 Liczba \(z=3+4i \) jest jednym z wierzchołków trójkąta równobocznego
wpisanego w okrąg o środku w 0 i promieniu 5. Znaleźć pozostałe wierzchołki
tego trójkąta
\(z=3+4i=5(\cos\varphi+i\sin\varphi)\), gdzie \(\begin{cases}\cos\varphi={3\over5}\\\sin\varphi={4\over5}\end{cases}\).
Krotności kąta \({2\pi\over3}\) są kątami obrotów własnych trójkąta równobocznego
Pozostałymi wierzchołkami trójkąta są
\(z_1=5\left(\cos(\varphi+{2\pi\over3})+i\sin(\varphi+{2\pi\over3})\right)=\\ \quad=5\left((\cos\varphi\cos{2\pi\over3}-\sin\varphi\sin{2\pi\over3})+i(\sin\varphi\cos{2\pi\over3}+\cos\varphi\sin{2\pi\over3})\right)=\ldots\)
\(z_2=5\left(\cos(\varphi+{4\pi\over3})+i\sin(\varphi+{4\pi\over3})\right)=\ldots\)

Pozdrawiam
Awatar użytkownika
Jerry
Expert
Expert
Posty: 3459
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 50 razy
Otrzymane podziękowania: 1895 razy

Re: Liczby zespolone - trójkąt

Post autor: Jerry »

NumberTwo pisze: 24 maja 2022, 22:46 Liczba \(z= 4 − 3i\) jest jednym z wierzchołków ośmiokąta foremnego
wpisanego w okrąg o środku w 0 i promieniu 5. Znaleźć pozostałe wierzchołki
tego ośmiokąta
\(z=4-3i=5(\cos\varphi+i\sin\varphi)\), gdzie \(\begin{cases}\cos\varphi={4\over5}\\\sin\varphi=-{3\over5}\end{cases}\).
Krotności kąta \({\pi\over4}\) są kątami obrotów własnych ośmiokąta foremnego
Pozostałymi wierzchołkami ośmiokąta są
\(z_k=5\left(\cos(\varphi+k\cdot{\pi\over4})+i\sin(\varphi+k\cdot{\pi\over4})\right)\) dla \(k\in\{1,2,\ldots,7\}\)

Pozdrawiam
ODPOWIEDZ