Proste

[EatonFS]

Dane są proste \(l_1: \frac{x-1}{1} = \frac{y+1}{-1} = \frac{z-1}{2} \),
\(l_2: \frac{x+1}{-1} = \frac{y-3}{2} = \frac{z-3}{1}\)
a) sprawdzić że proste są wspolplaszczyznowe
b) wyznaczyć równanie płaszczyzny \(\pi\) zawierającej proste \(l_1,l_2\)

[grdv10]

Wskazówki.

a) Proste są współpłaszczyznowe, jeśli mają punkt wspólny, albo są równoległe. Ta druga możliwość nie zachodzi ze względu na wektory równoległe. Przecinanie się sprawdzamy układem równań. Cztery równania z trzema niewiadomymi - i musi on być oznaczony.

b) Płaszczyzna przechodzi przez punkt wspólny obu prostych, a jej wektorem prostopadłym jest iloczyn wektorowy wektorów równoległych do obu prostych.

[Jerry]

Dane są proste \(l_1: \frac{x-1}{1} = \frac{y+1}{-1} = \frac{z-1}{2} \),
\(l_2: \frac{x+1}{-1} = \frac{y-3}{2} = \frac{z-3}{1}\)
a) sprawdzić że proste są wspolplaszczyznowe
b) wyznaczyć równanie płaszczyzny \(\pi\) zawierającej proste \(l_1,l_2\)

Ja bym to zrobił tak:
Równania płaszczyzn równoległych do danych prostych (nierównoległych - jak zauważył szw1710) mają postać \[\pi_D\colon-5x-3y+z+D=0\] ponieważ iloczyn wektorowy wektorów rozpinających proste, \([1,-1,2] \times [-1,2,1]=[-5,-3,1]\), jest wektorem normalnym do nich.
Pozostaje sprawdzić dowolnymi punktami prostych, np. \((1,-1,1)\) z pierwszej i \((-1,3,3)\) z drugiej, że w obu przypadkach \(D=1\). Zatem ... są i masz równanie tej płaszczyzny

Pozdrawiam