Wyznacznik macierzy - dowód

[jjjjjj]

Wiedząc, że \( \begin{vmatrix} c_1 & c_2 & c_3\\ b_1 & b_2 & b_3\\ a_1 & a_2 & a_3 \end{vmatrix}=-1 \), wykaż, że \( \begin{vmatrix}a_1 x+c_1 & b_1 y+c_1 & c_1 z\\ a_2 x+c_2 & b_2 y+c_2 & c_2 z\\ a_3 x+c_3 & b_3 y+c_3 & c_3 z\end{vmatrix}=xyz \)

[grdv10]

Wskazówka: trzeba tu skorzystać z liniowości wyznacznika względem kolumn. Oczywiście robić to odpowiednio umiejętnie. Myślałem na początek, aby od drugiej kolumny odjąć pierwszą, wyznacznik się nie zmieni. A potem działać coś z liniowością. Za dużo pisania w LaTeX-u, aby to zrobić tutaj dokładnie. Ale może zapiszę kolumny symbolicznie.\[|ax+c\quad by+c\quad cz|=|ax+c\quad by-ax\quad cz|=x|a\quad by-ax\quad cz|+|c\quad 0\quad 0|=\dots\]
Drugi wyznacznik jest zerowy. Teraz więc mamy\[\dots=xz|a\quad by-ax\quad c|=xzy|a\quad b\quad c|-x^2z|a\quad a\quad c|\]i znowu drugi wyznacznik jest zerowy, a pierwszy (odpowiednie przestawienie wierszy w tej wyjściowej macierzy i transponowanie) wynosi 1. I po sprawie.